Warum wird überhaupt beim Bruchrechnung Division den Kehrwert angewendet?
Ich möchte das so genau verstehen sodass ich wirklich einen Aha-Effekt habe :)
6 Antworten
Mathematik ist gar nicht schwer und ganz einfach zu verstehen. Du hast zum Beispiel die Rechnung 5 / (2/6), von der du das Resultat suchst. Gelernt hast du, 5 / (2/6) = 5 * 6/2 und das ist auch korrekt so.
Schau dir mal die Rechnung als Gleichung an: 5 / (2/6) = x, die kannst du nun mit (2/6) multiplizieren, denn Brüche unter dem Bruchstrich sind nicht schön und die Mathematik ist ja meist ganz schön. Wir erhalten also: 5 = 2/6 * x und weil du x möchtest, brauchst du x alleine auf einer Seite. Wir dividieren also mit x: 5 / x = 2/6 und zugleich dividieren wir noch mit 5: 1 / x = 2 / (6 * 5). Wenn wir jetzt x wollen, und nicht 1 / x, dann potenzieren wir die ganze Gleichung mit -1, sprich wir nehmen den Kehrwert, und der ist von 2 / (6 * 5) genau (6 * 5) / 2. Und der von 1 / x natürlich x.
=> x = 5 * 6 / 2
Gruss mi000hi
Ach ja, wenn du das ganze noch mit allgemeinen Zahlen, also Buchstaben durchrechnest, kannst du unten rechts noch "qed" (quod erat demonstrandum = was zu beweisen war) hinschreiben :)
Das Ziel ist es, herauszufinden warum wir mit dem Kehrwert statt dividieren, multiplizieren. Also versuchen wir, irgendwie einen Kehrwert hineinzubringen, und den von x, also 1 / x bietet sich dabei an. Also formen wir die Gleichung so lange um, bis auf einer Seite nur noch 1 / x steht. Dazu die obigen umformungen^^, der Kehrwert, ist nichts anderes als ^-1 zu rechnen,
denn y ist ja auch y^1 und wenn wir diesen Bruch mit -1 potenzieren, also ^-1 rechnen, erhalten wir y^1^-1 und das ist gleich y^-1 und y^-1 wiederum können wir als y^-1 / 1 schreiben. Wenn dieser Bruch nun mit y^1 erweitert wird, also y^-1 * y^1 / (1 * y^1) gerechnet wird, bleibt im Zähler noch 1, und im Nenner y^1, also 1 / y^1 = 1 / y.
Das ist die Definition / Herleitung des Kehrwertes.
Wir haben also die Umformung gemäss oben = 1 / x, und nehmen jetzt den Kehrwert und dann sehen wir, dass wir mit dem Kehrwert des Zählers, 2 / 6, multipliziert haben.
Da steckt eine innere Logik drin, die du erkennt, wenn du mal eine Zahl "herunter" dividierst.
8 : 4 = 2
8 : 2 = 4
8 : 1 = 8
8 : ½ = 16 aha!
8 : ¼ = 32
usw.
Das verdichtet sich dann zu Rechenregeln:
http://dieter-online.de.tl/Br.ue.che-1.htm
http://dieter-online.de.tl/Br.ue.che-2.htm
Diese brauchst du bis zum Schulabschluss dauernd,
und sie werden im Allgemeinen nicht wiederholt.
Was du vielleicht heute noch nicht weißt:
wegen entsprechender Definitionen brauchst man die Bruchrechnung später auch an völlig unvorhergesehenen Stellen: Potenzrechnung, Wurzeln, Logarithmieren, Ableiten, Integrieren
Erst mal ein formaler Beweis:
a c a d
THESE: —— : —— = —— * ——
b d b c
a c a d
—— : —— = —— * —— |:d/c
b d b c
a c d a
—— : —— : —— = ——
b d c b
These vom Anfang wieder aufgreifen:
a c c a
—— : —— * —— = ——
b d d b
a a
—— = ——
b b
und somit 0 = 0 w. A.
q. e. d.
Um es logisch zu erklären:
Wenn du ein wenig umformst, erhältst du:
a a a 1
——— = ——— = —— * ——
p 1 p 1
— p * — —
q q q
Der wichtige Teil ist der folgende:
1
——
1
—
q
Überlege doch mal logisch:
1/q ergibt (bei q > 1) eine kleine Zahl (<1).
Wenn du die Zahl 1 im Zähler durch eine kleine Zahl, die kleiner als 1 ist, teilst, ist das Ergebnis des Bruchs logischerweise eine große Zahl (>1).
Nämlich genau q.
Probier's aus:
1
—— = 2
1
—
2
2*1
—— = 2
1
Das funktioniert bei allen Zahlen.
Also kannst du die Zahl im Nenner des "Nennerbruchs" einfach nach oben in den Zähler ziehen.
Das ist natürlich kein Beweis, aber dieser steht oben.
Aha-Moment gehabt? ^^
Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.
LG Willibergi
Das machst du ja nicht nur beim Bruchrechnen, sondern generell:
Division durch 2 entspricht der Multiplikation mit 0,5. 0,5 (1/2) ist der Kehrwert von 2.
x/2 = x*(1/2)
Anders ausgedrückt: es ist gleichbedeutend, ob du durch a dividierst oder mit 1/a multiplizierst.
Um manche Rechnungen zu vereinfachen/überlichtlicher machen, also wenn du dich mit Potenzen auskennst, dann wird das sehr nützlich sein
ja ich kenn mit potenzen aus ;) und wie meinst du das mit nützlich
Sie oben erwähnt: macht es übersichtlicher und einfacher zu Rechnen
iwie verstehe ich das nicht ganz :/