Warum wird beim Integrieren die Integrationskonstante hinzugefügt?

Mathematisch garantiert nicht ganz saubere Erklärung, aber ich hab's damals so kapiert:

• Die Ableitung einer Funktion gibt deren Steigung an.
• Die Steigung ist aber unabhängig davon, ob und wie die Funktion auf der y-Achse verschoben ist.
• Wenn Du nun die Ableitung durch Integrieren "rückgängig" machst, weißt Du nicht, ob und wie stark die Funktion verschoben ist. Also kommt das "+c" dazu. Damit weißt Du, wie die Funktion prinzipiell verläuft, und dass sie um den Wert "c" verschoben sein kann.

Weil das Integral einer Funktion f(x), also die Stammfunktion F(x), abgeleitet wieder f(x) ergeben soll: F'(x) = f(x).

Eine konstante c ergibt 0, wenn man sie nach x ableitet. Wenn man also F(x) = g(x) + c, dann ergibt sich F'(x) = g'(x) = f(x). Wenn du also f(x) integrierst und nur f(x) gegeben hast, hast du keine Informationen über eine mögliche Konstante. Demnach addierst du einfach eine unbestimmte konstante Variable c zu deinem ermittelten Integral.

Wenn du zum Beispiel mal f(t) = 3e^t + 4t + 7 integriest, dann bekommst du ja als Stammfunktion F(t) = 3e^t + 2t^2 + 7t + C. Jetzt könnte die Funktion f zum Beispiel eine Bestandsänderungrate modellieren und F soll den tatsächlichen Bestand modellieren. Nun weiß man aber aus der Änderung allein noch nicht, welchen Anfangsbestand es bei t = 0 gab. Daher die Konstante C. Es könnte Null sein, muss es aber nicht. Jetzt könnte in einer Aufgabe aber auch ein Anfangsbestand gegeben sein. Zum Beispiel ist er 20. Dann kann man das C ausrechnen. F(0) = 3e^0 + 2*0^2 + 7*0 + C = 20. Da bekommt man C = 17 raus. Nun kennt man also die genaue Stammfunktion F(t) = 3e^t + 2t^2 + 7t + 17 bezogen auf den gegebenen Anfangswert.

Wenn man die Bestandsänderung zwischen zwei Grenzen ausrechnen will, kürzt sich das C immer weg. Für F(6) - F(3) wäre das C also nicht nötig.

Was auch mal gefragt sein kann, ist eine Integralfunktion zu bestimmen mit gegebener linken Grenze. Wenn diese zum Beispiel 2 sein soll, dann setzt man das ein und setzt es gleich Null. F(2) = 0, rechnet das C aus und erhält dann eine Integralfunktion I(t) mit einer linken Grenze von 2.

Beim Differenzieren fallen die Konstanten weg, deshalb müssen sie beim Integrieren irgendwie wieder erscheinen, jedoch ist diese eine Unbekannte.

Um zu symbolisieren, dass es nicht eine Lösung gibt, sondern unendlich viele.