Wie wendet man hier die lineare Kettenregel zum integrieren an?
Bei uns im Buch steht nicht mal eine richtige Erklärung. Ich weiß gar nicht wie ich das machen soll. Es geht um die lineare Kettenregel Bzw. Substitutionsregel
2 Antworten
Hallo,
die Stammfunktion von f(x)=x² ist F(x)=(1/3)x³+C.
Nun steht das nicht x², sondern (2x+1) unter dem Integral.
Diesen Term ersetzt Du durch u (oder z oder egal was) und machst einen Substitutionsausgleich, der folgendermaßen aussieht:
du/dx=2, denn wenn Du 2x+1 nach x ableitest, bekommst Du eine 2 als Ergebnis.
Das löst Du nach dx auf: dx=du/2.
Wenn Du also aus (2x+1)²dx u²du machst, mußt Du die neue Funktion durch 2 als Ausgleich dafür, daß Du eine Substitution vorgenommen hast, teilen.
Die neue Funktion heißt also f(u)=(1/2)u². Stammfunktion dazu ist (1/6)u³+C.
Nun kannst Du u wieder durch 2x+1 ersetzen und bist fertig:
F(x)=(1/6)*(2x+1)³+C.
Wenn Du das nach der Kettenregel ableitest, kommst Du wieder auf die ursprüngliche Funktion: 3*(1/6)*(2x+1)²*2=(2x+1)².
Du mußtest beim Integrieren durch die innere Ableitung teilen, weil die Integration die Umkehrung der Ableitung ist. Das funktioniert aber nur, wenn nach dem Substituieren die alte Variable x völlig verschwunden ist und nicht etwa eine Mischung aus x und u übrig bleibt.
Bei der linearen Substitution wird das nicht passieren, weil beim Ableiten des substituierten Terms das x verschwindet.
Herzliche Grüße,
Willy
die innere Ableitung ist 2
und die gleichst du mit 1/2 vor dem Integralzeichen aus;
also
1/2 Integr. (2•(2x+1)²)
dann substituierst du u= 2x+1
1/2 Integr. (u²)
= 1/2 • 1/3 • u³
resubsti
1/6 • (2x+1)³ + C