Warum muss die dritte Ableitung ungleich 0 sein?
Also, wenn ich überprüfen will, ob das ein wendepunkt ist?
2 Antworten
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit horizontaler Tangente.
Wäre die dritte Ableitung gleich Null, dann wäre es kein Wendepunkt.
Warum die dritte Ableitung bei Wendepunkte ungleich Null sein muss, wird in diesem Video erklärt :
Wenn du weißt, dass die dritte Ableitung nicht Null ist kannst du dir sicher sein, dass es ein Wendepunkt ist.
Ein Wendepunkt ist eine Stelle, bei der die Krümmung das Vorzeichen wechselt.
Krümmung bedeutet anschaulich:
Wenn du dir ein extrem kurzes Stück der Funktion (bzw. des Graphen) hernimmst und dieses Stück stark vergrößerst kannst du versuchen die Funktion für dieses kurze Stück mit einem Kreisbogen zu beschreiben.
Hier sieht man in etwa was ich meine: https://de.wikipedia.org/wiki/Kr%C3%BCmmung#/media/File:Osculating_circle.svg
Man erhält so für jeden Punkt des Funktionsgraphens einen Kreis, wobei der Radius dieses Kreises manchmal "unendlich" sein kann.
Außerdem kann der Mittelpunkt ober- oder unterhalb des Graphen sein.
Ein Wendepunkt ist jetzt genau so ein Punkt, dass dieser Kreismittelpunkt unmittelbar davor auf der einen und unmittelbar danach auf der anderen Seite der Kurve liegt.
Das ist insbesondere dann erfüllt, wenn die zweite Ableitung unmittelbar vorher positiv und unmittelbar dananch negativ ist (oder anders herum).
Wenn du weißt, dass die dritte Ableitung an der Stelle nicht null ist, muss sich das Vorzeichen der zweiten Ableitung auf jeden Fall ändern.
Wenn du jetzt jedoch feststellst, dass die dritte Ableitung nicht Null ist weißt du nicht automatisch dass es keine Wendestelle sein kann (anders als Volens und precursor das sagen).
Beispiel
1) f(x) = x^3, f'(x) = 3x², f''(x) = 6x, f'''(x) = 6
=> f hat bei x=0 eine Wendestelle (f''(x)=0, f'''(x)!=0)
2) f(x) = x^5 f'(x) = 5x^4, f''(x) = 20x^3, f'''(x) = 60x²
=> f''(0) = 0, f'''(0) = 0 sieht aus wie "keine Wendestelle", aber in Wirklichkeit können wir das nicht sicher sagen.
Tatsächlich ist es aber eine, denn unmittelbar vor x=0 ist die zweite Ableitung negativ und unmittelbar danach ist sie positiv. (Hier ist f''(x) sogar beliebig weit vor x=0 negativ und beliebig weit danach positiv.)
Also: Warum muss die dritte Ableitung ungleich 0 sein?
Muss sie nicht. Aber wenn sie es ist weißt du sicher, dass es eine Wendestelle ist.
Wenn sie nunmal 0 ist kannst du noch keine Aussage darüber treffen ob es eine Wendestelle ist oder nicht.