warum muss der stützvektor nicht der schnittpunkt sein?
Hallo, ich frage mich warum man, wenn man zum Beispiel eine Ebenengleichung zweier sich schneidenden Geraden aufstellt, einen beliebigen Punkt der auf beiden Geraden liegt als Aufpunkt nehmen kann und warum es nicht der Schnittpunkt sein muss. Die Richtungsvektoren geben doch die Richtung beziehungsweise an wohin die Ebene aufgespannt wird und wenn ich den Schnittpunkt als Aufpunkt habe würde die Ebene doch ungefähr wie ein Dreieck aussehen, mit dem Aufpunkt am Anfang < aber wenn der Stützvektor ein anderer ist und dann auf einem Richtungsvektor liegt sieht das doch ganz komisch aus und die Ebene wird nicht vom Stützvektor aus aufgespannt
2 Antworten
Hallo,
die zweidimensionalen Richtungsvektoren kannst Du beliebig im Raum verschieben, solange es sich um Parallelverschiebungen handelt.
Um eine Ebene festzulegen, wählst Du irgendeinen Punkt, der in Deiner Ebene liegen soll, schnappst Dir einen Richtungsvektor, machst ihn an diesem Punkt, dem Stützpunkt fest. Nun sind Stützpunkt und jeder Punkt des Richtungsvektors Teil der Ebene. Da sie um den Vektor drehbar ist, ist sie noch nicht festgelegt. Dazu brauchst Du einen zweiten Richtungsvektor, der weder in die gleiche Richtung noch in die Gegenrichtung des ersten Vektors zeigt.
Mach diesen Vektor an einem beliebigen Punkt des ersten Vektors fest (das muß nicht unbedingt der Stützpunkt der Ebene sein), dann hast Du die Ebene festgelegt.
Da sich diese Ebene in zwei Dimensionen unendlich weit innerhalb des Raums, in dem sie liegt, erstreckt, spielt es überhaupt keine Rolle, ob die beiden Richtungsvektoren von einem gemeinsamen Punkt ausgehen oder nicht.
Herzliche Grüße,
Willy
Wichtig ist, daß die beiden Richtungsvektoren linear unabhängig sind und nicht windschief zueinander. Sie müssen sich also irgendwo schneiden. Dieser Schnittpunkt ist dann ein Punkt der Ebene und kann als Stützpunkt verwendet werden. Wird auch meist. Muß aber nicht. Du kannst auch jeden anderen Punkt der Ebene als Stützpunkt bestimmen.
wenn zwei sich schneidende Geraden die Ebene aufspannen, kannst du jeden beliebigen Punkt einer der beiden Geraden als Stützvektor nehmen.
Mit dem Schnittpunkt der beiden Geraden als Stützvektor der Ebene siehts besser aus, das stimmt. Du könntest aber auch einen der beiden Geradenstützvektoren als Stützvektor der Ebene verwenden. Dann brauchst du den Schnittpunkt nicht berechnen, falls es in der Aufgabe nicht extra erwähnt ist
also ist es egal, weil die ebene sowieso unendlich groß ist?