Warum ist R sowohl offen als auch abgeschlossen?

Es hängt vom Topologischen Raum Ab.

Wenn du R als Teilmenge von den Komplexen Zahlen betrachtest, wobei die Topologie durch die Euklidische Norm generiert wird, dann ist die Aussage falsch, die Menge ist nämlich dann nur abgeschlossen, aber nicht offen.

Wenn R als den Gesamten Raum betrachtest, dann folgt es direkt aus den Definitionen der Topologie, da der Gesamte Raum immer offen und abgeschlossen ist.

(Schaue dir dafür an, wie ein Topologischen Raum definiert ist, und wie offen/abgeschlossen definiert ist, es folgt direkt daraus)