Enthält eine nicht leere Teilmenge des R2 unendlich viele Elemente?
Oder kommt es drauf an ob sie offen abgeschlossen beschränkt kompakt ist
1 Antwort
Nein, {(0,0)} ist endlich, abgeschlossen, beschränkt und kompakt (in der Standardtopologie), da Punkte in einem Hausdorff-Raum abgeschlossen sind. Kompaktheit folgt direkt aus der Endlichkeit der Menge und Beschränkheit sollte klar sein. Alternativ könnte man auch Heine-Borel verwenden, was aber ein "Overkill" wäre.
Endliche Mengen im R^2 sind immer abgeschlossen (und kompakt), da wir sie als endliche Vereinigung von Punkten schreiben können. Daher sind offene Mengen auch unendlich.