Warum ist die Boltzmann konstante konstant?
Die Boltzmann konstante gibt die durchschnittliche kinetische Energie bei einer Temperatur an: E = k*T
Doch wie kann das universell gelten? Verschiedene Gase haben doch verschiedene Wärmekapazitäten, da kann ein Energiebetrag doch zu einer ganz anderen Temperatur führen.
2 Antworten
In der Näherung der idealen Gase hat das Gasteilchen keine innere Struktur, sondern nur Masse. Das ist in guter Näherung für die Edelgase erfüllt, und daher ist die innere Energie von Edelgasen wirklich mit der allgemeinen Formel E=3⁄2kT (pro Teilchen) beschreibbar, oder anders gesagt, die Wärmekapazität ist einfach 3⁄2k.
Bereits bei zweiatomigen Gasen wir H₂ oder N₂ ist das nicht mehr der Fall; die haben ja innere Freiheitsgrade (sie können rotieren und je nach Temperatur auch schwingen). Meistens bleibt man innerhalb der Näherung für ideale Gase, indem man die Wechselwirkung der Gasteilchen untereinander ignoriert, und und nur Korrekturen für die innere Struktur der Moleküle anbringt. Diese Korrekturen sind dann strikt additiv.
Für die Rotation kann man bei Raumtemperatur immer annehmen, daß der Beitrag zur Wärmekapazität ½k pro Rotationsfreiheitsgrad ist (davon gibt es bei linearen Molekülen 2 und bei anderen 3). Deshalb hat H₂, das wegen der starken Bindung und der geringen Masse bei Raumtemperatur kaum schwingt, die Wärmekapazität ≈5⁄2k.
Bei Schwingungen ist es komplizierter. Im Rahmen der Näherung des harmonischen Oszillators muß die Wärmekapazität pro Schwingungsfreiheitsgrad und Molekül zwischen Null (Tieftemperaturlimit) und k (Hochtemperaturlimit) liegen; Moleküle haben aber typischerweise viele Schwingungen, und die meisten liefern irgendwelche Beiträge dazwischen. Wenn man die Schwingungfrequenz des Moleküls kennt, kann man den Beitrag pro Freiheitsgrad sogar mit einer einfachen Formel berechnen.
Da viele Schwingungen aber nicht gut als harmonisch betrachtet werden können, wird es in der Praxis aber wesentlich komplizierter, und letztlich wird man deutlich mehr Aufwand betreiben müssen. Noch viel schlimmer wird es, wenn man die Näherung des idealen Gases gänzlich über den Haufen wirft und das endliche Volumen und die langreichweitigen Wechselwirkungen der Moleküle berücksichtigt. Dazu greift man oft auf empirische Schummelparameter (van-der-Waals-Gleichung) zurück, weil das Problem anderweitig fast nicht mehr handzuhaben ist.
pV = NkT gilt für ideale Gase, die alle die gleiche Wärmekapazität haben, weil Temperatur einfach ein statistischer Durchschnittswert für kinetische und potentielle Energie der Teilchen ist. Verschiedene Gase haben nur verschiedene Teilchenmassen und damit verschiedene Teilchengeschwindigkeiten bei gleicher kinetischer Energie.