Warum ist bei der Ellipse die Addition von FX und F‘X immer 2a?
Warum ist der Abstand zwischen den Brennpunkten F und F’ und einem beliebigen Punkt X immer 2a? Es geht um eine Ellipse in der ersten Hauptlage (also der Mittelpunkt liegt im Ursprung).
1 Antwort
Definition:
"Die Ellipse ist die Menge aller Punkte der Ebene, für die die Summe ihrer Abstände von zwei festen Punkten konstant ist."
Die Summe dieser beiden Abstände nennen wir 2 * a.
Jetzt kann man noch zeigen, dass dieses a in der Mittelpunktgleichung der Ellipse enthalten ist: (x² / a²) + (y² / b²) = 1
Ich vermute, hierauf zielt die Frage ab.
Der Abstand der Brennpunkte ist 2e, also ist der Abstand eines Brennpunktes vom Koordinatenursprung e.
Jetzt kann man mittels Pythagoras folgende Gleichung aufstellen:
√((e + x)² + y²) + √((e - x)² + y²) = 2 * a
Das führt nach Umformung zu
(a² - e²) * x² + a² * y² = a² * (a² - e²)
Setzen wir: a² - e² = b²
b² * x² + a² * y² = a² * b²
Führt das zur Mittelpunktsgleichung:
(x² / a²) + (y² / b²) = 1