Wann lernt man die Imaginäre Zahl?
Ich hab mich gefragt "Wann lernt man imaginäre Zahlen" und ich hab gegoogelt aber es waren keine Antworten da also diese Frage
Antworten werden mir sehr viel helfen
was sind Imaginäre Zahlen? das sind Zahlen die eigentlich keine Antwort darauf haben z.b.
Danke!
5 Antworten
Leider führen in der Mathematik einige Gleichungen zweiten Grades keine echte Lösung. Schad zwar , aber unabdingbar. Der Grund: es gibt keine reelle Zahl gibt, deren Quadrat negativ ist.
Einen Wert egal welchen) kann man nicht mit sich selbst multiplizieren, ohne ein positives Ergebnis zu erzielen: Zum Beispiel ist 2² 4, genau wie (-2) ². Ganz klar, wir haben es ja gelernt:
- Plus mal Plus ergibt Plus und Minus mal Minus ergibt halt auch Plus.
genau so wie
- Plus mal Minus ergibt Minus und Minus mal Plus ergibt Minus.
Wenn nach diesen mathematischen Regeln das Produkt zweier negativer Zahlen positiv sein soll, dann schließen wir daraus, dass das Quadrat jeder Zahl, auch der negativen, positiv ist.
In vielen Jahrhunderten hat man versucht, davon abzuweichen und hat schließlich bei der Suche nach Quadratwurzeln für negative Zahlen zur Ergänzung komplexer Zahlen das "i" eingeführt geführt.
Die Menge der komplexen Zahlen wird als Erweiterung der Menge reeller Zahlen betrachtet, die eine imaginäre Zahl enthält, die mit i Exponent (a; b) bezeichnet ist, so dass i = Quadratwurzel von -1 und i² = -1, mit dem Quadrat von ( -i) auch gleich -1.
Das Prinzip ist, dass jede Zahl in der Form a + i b geschrieben werden kann, wobei a und b reelle, negative oder positive Zahlen sind.
Die Quadratwurzel von -4 ist also gleich 2i und nicht 2. Jetzt kann man ohne Verletzung mathematischer Regeln weiterrechnen. Mit den imaginären Zahlen lassen sich nun Gleichungen lösen, die keine reellen Lösungen haben können. Zum Beispiel hat die Gleichung
x² - 4 = 0
als Lösung zwei reelle Zahlen, nämlich 2 und −2. Aber die Gleichung
x² + 4 = 0
kann keine reelle Lösung haben, da Quadrate reeller Zahlen niemals negativ sind, sodass es keine reelle Zahl gibt, deren Quadrat −4 wäre.
Die Lösung dieser Gleichung sind zwei imaginäre Zahlen nämlich
2i und -2i.
Hier noch ein link:
https://www.maths2mind.com/schluesselwoerter/imaginaere-einheit
Hallo,
das mußt Du Dir selbst beibringen. Komplexe Zahlen werden normalerweise an der Schule nicht unterrichtet. Es gibt aber zahlreiche Bücher auf dem Markt, die den Umgang mit komplexen Zahlen lehren.
Herzliche Grüße,
Willy
Hmm ich dachte immer das die im Gymnasium dranne kommen. 12 Klasse oder so.
Die imaginäre Zahl I ist die lösung der Aufgabe: Wurzel aus -1.
Wie du es schon gesagt hast.
Allgemein gesprochen ergibt jede Wurzel aus einer negativen Zahl. Eine Imaginäre Zahl.
Zusammen mit den reeelen zahlen. Bilden sie die komplexen zahlen. Eine komplexe Zahl hat einen reellen Teil und einen Imaginären Teil
Z.b. 1+i ist eine komplexe Zahl.
Vorstellen kann man sich das wie folgt:
Stelle dir Ben normalen Zahlenstrahl vor. Pack die 0 in die Mitte. Auf diesem Zahlenstrahl sind alle reellen zahlen.
Nun zeichnest du bei der 0 senkrecht ne zweite Achse. Sodass du imgunde ein Koordinatensystem hast.
Auf dieser Achse sind alle imaginären zahlen. 1i ,2i usw. Nach oben. Und -1i ,-2i usw. Nach unten. Mit allen werten dazwischen. (Also auch 0,5i etc).
Jeder Punkt den du in diesem Koordinatensystem machen kannst. Ist eine komplexe Zahl. Die Welt der zahlen würde quasi um eine weitere dimension erweitert.
Beim rechnen mit komplexen zahlen gibt es ein paar Besonderheiten. Die sind aber Recht easy zu begreifen.
In der a+bi Schreibweise. Rechnet man einfach so als wäre das I eine variable.
Als Beispiel:
(5+2i) * (2+6i) = 5*2 + 5*6i + 2i*2 + 2i*6i
Zusammenfassen:
10+30i+2i+12i²
Nochmal zusammenfassen:
10+32i +12i²
Nun kommt die eine Besonderheit: aus jedem i² wird -1. Also:
10+32i +12*-1=-2+32i
Das war jetzt ne ganz normale Multiplikation zweier komplexer zahlen.
Es gibt eine weitere besonderheit die man am Ergebniss der Multiplikation sehen kann. Denn der Realteil ist ja plötzlich negativ geworden.obwohl wir 2 positive zahlen multipliziert haben.
Um das zu verstehen müssen wir uns wieder das Koordinaten system vorstellen.
Wir haben ja die Definition: Wurzel -1 gleich i im Umkehrschluss bedeutet das i Mal I ist -1.
In unserem Koordinatensystem ist i der erste beschriftete wert auf der y Achse. Also eins nach oben gehen.
Wenn wir jetzt mit I multiplizieren. Landen wir eines nach links auf der X Achse.
Wir rotieren quasi um eine 90grad Drehung um unseren Ursprung gegen den Uhrzeigersinn.
Und das bleibt auch so wenn wir weiter mit I multiplizieren.
-1 Mal I ist -i
-i *I ist 1
Und 1 * i ist i
Das ist soweit das was ich über die komplexen zahlen weiss.
Das kommt in der Schule nie dran, aber keine Sorge, das ist nicht schlimm.
Wenn du dich dafür interessierst, dann gibt es dazu haufenweise tolles Material im Internet. Wenn du dich vor dem Thema fürchtest kann ich dir sagen, dass zumindest die Grundlagen (von der Definition, über Rechenregeln, über Darstellung als Zahlenpaar bis hin zur Polarform) sehr einfach und eigentlich für 11. Klässler (falls sie Vektoren hatten), auf jeden Fall für jeden 12. Klässler verständlich sind.
Ich hatte sie in der Schule nie (Mathe-Leistungskurs), sie wurden aber in der Universität direkt im 1. Semester vorausgesetzt (Physik).
Ein Grund dafür, warum mathematische Vorkurse auf jeden Fall empfehlenswert sind.