Kann mir vielleicht Jemand bei Integralrechnung helfen?

Ein Land besitzt 60 Millionen Einwohner. Die Wachstumsrate beträgt zu Beginn 1 Mio.

Personen/Jahr und nach 5 Jahren 0,951 Mio. Personen/Jahr.

Es wird angenommen, dass die Wachstumsrate gemäß der Funktion

$N'\left(t\right)=ae^{-bt}$

verläuft.

a) Wann sinkt die Wachstumsrate auf 500 000 Personen/Jahr?

b) Wie groß ist die durchschnittliche Wachstumsrate der ersten 50 Jahre?

c) Welcher Bevölkerungszuwachs wird im zweiten Jahrzehnt der Beobachtung erzielt?

Danke im Voraus

Answer 1

[fjf100]

N´(t)=a*e^(b*t) → exponentielle Abnahme N(t)=No*a^(t) 0<a<1

N´(0)=1 Mio=a*e^(-b-*0)=a*e⁰=a*1=1 Mio

N´(5)=0,951 Mio=1 Mio*e^(-b*5)

0,951 Mio/1 Mio=0,951=e^(-b*5) logarithmiert

ln(0,951)=-b*5

b=ln(0,951)/-5=0,010048

N´(t)=1 Mio*e^(-0,01*t)

N´(t)=0,5 Mio=1 Mio*e^(-0,01*t)

ln(0,5)=-0,01*t

t=ln(0,5)/-0,01=69,3147.. Jahre → Halbwertszeit T=69,32 Jahre

b) N´(50)=1 Mio*e^(-0,01*50)=0,6065 Mio

Differenzenquotient m=(y2-y1)/(x2-x1)

m=(y2-y1)/(t2-t1)

t1=0 und y1= 1 Mio

t2=50 jahre und y2=0,6065 Mio

m=(0,606-1)/(50-0)=-7,869*10^(-3) Mio/Jahr

c) Bevölkerungszuwachs geht nich weil N´(t)=1 Mio*e^(-0,01*t) → exponentielle Abnahme

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert

Answer 2

[fjf100]

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Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert