Volumen eines Tetraeders mit 4 Punkten, Vektoren!?
Hallo liebe Community,
Ich muss ne Aufgabe lösen, die ich nur teilweise verstehe. Könnt ihr mir so einfach wie möglich erklären wie ich vorgehen soll. Also ich habe 4 Punkte (A;B;C;D) und bei der D ist der letzte Punkt unbekannt, also (0/0/q) und das Volumen ist =10. Bei q gibt es 2 Ergebnisse. Es handelt sich hier um Vektoren !!! Könnt ihr mir verraten wie ich genau vorgehen sollte? Im Netzt hab ich ne Formel rausbekommen aber ich weiß nicht wie ich q rausfinden soll.
Danke im voraus :)
2 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/7_nmmslarge.png?v=1438863662000)
Wie man ein Dreieck zu einem Parallelogramm doppelten Flächeninhaltes ergänzen kann, so kann man ein Tetraeder zu einem Spat / "Parallelepiped" mit 6fachem Volumen ergänzen. Damit kann man das Volumen eines Tetraeders über das Spatprodukt der Seitenvektoren ermitteln. (Das dürfte die Formel sein, die du gefunden hast.)
Der Rest ist Fleißarbeit:
bestimme das Tetraedervolumen in Abhängigkeit von q
nimm die Gleichung Tetraedervolumen = Sollvolumen
löse diese Gleichung nach q auf
(Anschaulich ist klar, dass es zwei Lösungen geben muss - je eine für das Tetraeder auf jeder Seite des Dreiecks (ABC), also ist eine quadratische Gleichung zu erwarten)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/MatthiasHerz/1568025620185_nmmslarge__1642_0_857_857_4abb6a047c43b99276216ac3aee7622a.jpg?v=1568025620000)
Ein regelmäßiges Tetraeder besteht aus vier gleichseitigen Dreiecken. Das Volumen ist
V = a³ √2 / 12
mit a als Kante.
Das löst jetzt nach a auf und kannst darüber den fehlenden Wert bestimmen.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/MatthiasHerz/1568025620185_nmmslarge__1642_0_857_857_4abb6a047c43b99276216ac3aee7622a.jpg?v=1568025620000)
Auch gut, das ist viel spannender zu berechnen und nicht so langweilig.
Es ist nicht notwendigerweise ein regelmäßiges Tetraeder.