Frage zu Vektorrechnung (quadratische Pyramide)?
Guten Abend zusammen,
ich habe eine Frage bezüglich des Ablaufes einer Aufgabe bei der Vektorrechnung.
Es geht sich um eine quadratische Pyramide mit den Punkten A(0|0|0), B(0|8|0), C(8|0|0), D(8|8|0) und die Spitze S(4|4|10). Eine Längeneinheit entspricht einem Zentimeter.
Nun wird die Pyramide in ein 4cm hohes Becken mit Wasser gelegt. Es soll das neue Volumen der Pyramide berechnet werden welches NICHT im Wasser liegt.
Ich wäre so vorgegangen:
Geradengleichung von jedem Punkt zur Spitze der Pyramide erstellen.
Dabei jeweiligen Punkt als Ortsvektor nehmen.
Dann bei jeder Geraden die x_3-Koordiante gleich 4 setzen und nach der Unbekannten auflösen per Äquivalenzumformung. Bei mir kommt dann 4/10 heraus für jede Gerade. Dann 4/10 für die Variable in der Geradengleichung einsetzen und man erhält den neuen Punkt in der Höhe von 4cm.
Und danach mit den neuen Punkten und gleichbleibenden Koordinaten für die Spitze das neue Volumen ausrechnen. (Beispielsweise per Kreuzprodukt).
Ist mein Rechenweg so in Ordnung oder habe ich irgendetwas übersehen bzw. bin ich das Problem völlig falsch angegangen?
Ich würde mich sehr über eure Antworten freuen.
Schöne Grüße
RuhrpottNiklas
2 Antworten
Das müsste eigentlich funktionieren.
Etwas anderer Ansatz:
AS = (4/4/10)
Der Hilfspunkt F liege auf AS mit x3 = 4, das isz 0,4 der ursprünglichen Höhe dann ist auch x1 und x2 von F 0,4 der Koorddinaten von S:
Damit rechne ich x1 und x2 von F aus:
x1 = 4 * 0,4 = 1,6
x2 = 4 * 0,4 = 1,6
und damit:
F(1,6/1,6/4)
Damit ist die Seitenlänge s der neuen Grundfläche
s = 8 - 2 * 1,6= 4,8
und die neue Grundfläche A:
A = 4,8^2 = 23,04
und das Volumen V:
V = 1/3 * 23,04 * 6 = 48,08 cm^3
..hoffe, das ist richtig so. Laut Grafik scheint es aber so zu sein:
Die Grundfläche der Pyramide liegt in der xy-Ebene.Die Spitze der Pyramide liegt senkrecht über dem Mittelpunkt dieser Grundfläche. Die z-Koordinate der Pyramide gibt also ihre Höhe 10 cm an. Es scheint unterstellt zu werden, dass der Wasserspiegel von 4 cm sich durch das Hineinlegen der Pyramide nicht verändert.
Die Pyramide schaut also noch 6 cm aus dem Wasser heraus. Die Höhe der Pyramide wurde also um den Faktor 6 / 10 verringert.Auf Grund von Ähnlichkeit bzw des Strahlensatzes gilt dies auch für die Länge von 8 cm der Kanten der Grundfläche.
Diese Art der Lösung hat zwar nur wenig mit analytischer Geometrie zu tun, ist aber viel einfacher.
Nicht so schnell ! Auch die Länge der Kanten der Grundfläche müssen je mit dem Faktor 0,6 multipliziert werden.
Ah ok, vielen vielen Dank. Mit dem Weg habe ich mir dann eine Menge Arbeit gespart.
Achso, schonmal vielen Dank, also nehme ich das anfängliche Volumen der alten Pyramide und multipliziere es dann mit dem Faktor 0,6 um auf das Volumen der neuen Pyramide zu kommen oder jede einzelne Seite mal 0,6?