Vollständige Induktion mit zwei Summen?
Moin Leute,
ich versuche grade die Aufgabe zu lösen, jedoch gelingt es mir nicht die Summenzeichen wegzubekommen.
Danke im Voraus
2 Antworten
Erste Summe:
Die erste Summe besteht aus n Termen +1 und aus n Termen -1, das Ergebnis ist somit 0.
Zweite Summe
Der Beweis ist kompliziert und sprengt den Rahmen hier.
Hallo,
Du mußt doch nur zeigen, daß die Addition des Folgegliedes zu einem Ausdruck führt, der auch direkt durch Ersetzen von n durch n+1 in der Summenformel erreicht wird.
Die erste Summe hat doch dieses Schema:
1-1/2+1/3-1/4+...+1/(2n-1)-1/(2n).
Wichtig dabei ist, daß die Summe immer durch einen negativen Summanden abgeschlossen wird, denn (-1)^(2n+1) ist (-1).
Die Summe auf der rechten Seite der Gleichung lautet 1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(n+n),
der letzte Summand ist also 1/(2n).
Das Folgeglied in der Summe auf der linken Seite müßte wieder positiv sein,
nämlich 1/(2n+1).
Wenn ich das zur Summe auf der rechten Seite addiere, bekomme ich die Summe
1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)+1/(2n+1).
Das ist aber genau die Summe, die ich erhalte, wenn ich bei der rechten Summe die Obergrenze der Summe n durch n+1 ersetze, denn dann läuft die Summe bis 1/(2n+1).
Natürlich mußt Du zunächst den Induktionsanfang für n=1 machen, was aber einfach ist. Danach brauchst Du die Summe gar nicht verschwinden zu lassen.
Du darfst für die Induktion ja annehmen, daß die Gleichung stimmt und brauchst nur zu zeigen, daß sie, wenn sie für n stimmt, dann auch für n+1 stimmt.
Herzliche Grüße,
Willy
Bedank Dich nicht zu früh.
Wenn ich in 1/(n+k) das n durch n+1 ersetze, lautet das erste Glied der Summe nicht mehr 1(n+1), sondern 1(n+2). Die Obergrenze der Summe darf ich aber auch nicht einfach verändern. Ich fürchte, meinen 'Beweis' kannst Du in die Tonne kloppen.
Ja, als ich es jetzt ausprobiert habe, habe ich gemerkt, dass es doch nicht klappt :(
Du kannst aber die linke Summe zu SUMME (k=1 bis n): (1/(2k-1)-1/(2k)) umschreiben.
Dann laufen die Summen links und rechts wenigstens über die gleichen Grenzen.
Versuch es mal damit.
Alles klar! Vielen Dank für die Antwort