Vollständige Induktion - Wie Fehler korrigieren?

In der folgenden Aufgabe hä ich versucht die gegebene Aussage zu beweisen, mittels vollständiger Induktion, bin allerdings daran gescheitert und habe denke ich auch den Fehler gefunden, markiert und dadurch auch gesehen, dass ich durch den Fehler einige Folgefehler gemacht habe, die zu einem falschen Ergebnis geführt haben. Leider erkenne ich lediglich das es falsch ist und nicht warum genau.

Ich wäre euch daher sehr verbunden, wenn ihr mir näher bringen könntet warum mein Schritt falsch war und wie ich den IS korrekt weiterführen müsste.

Comments

[Tannibi]

Was bedeutet dieser Strich hinter der 5?

[PsySkill]

Das bedeutet, dass 5 ein Teiler von 35 ist bzw. von 2^2n-1 + 3^2n-1

Answer 1

[FataMorgana2010]

Du willst im Induktionsschritt zeigen, dass

$5 | 2^{2(n+1)-1} + 3^{2(n+1)-1}$ gilt.

Dazu schauen wir uns den rechten Ausdruck einmal an:

$2^{2(n+1)-1} + 3^{2(n+1)-1} = 2^{2n+1} + 3^{2n+1}$ Das kann ich so umformen:

$2^{2n+1} + 3^{2n+1} = 2^{2n-1+2} + 3^{2n-1+2} =2^{2n-1} \cdot 2² + 3^{2n-1} \cdot 3^2$ oder auch

$= 4 \cdot 2^{2n-1} + 9 \cdot 3^{2n-1} = 4 \cdot 2^{2n-1} + 4 \cdot 3^{2n-1} + 5 \cdot 3^{2n-1}$ $= 4\cdot (2^{2n-1} + 3^{2n-1}) + 5 \cdot 3^{2n-1}$ Der erste Summand ist durch 5 teilbar wegen der Induktionsvoraussetzung (denn genau die steht ja in der Klammer), der zweite Summand ist es offensichtlich auch. Also ist der ganze Ausdruck durch 5 teilbar - und das war ja zu zeigen.

Answer 2

[alaaf923]

Beim Induktionsschritt muss es heißen:

$5\mid2^{2\left(n+1\right)-1}+3^{2\left(n+1\right)-1}$ und nicht anders

Comments

[PsySkill]

Ja das war auch so eine Sache wo ich mir nicht so sicher war. Danke