Verhältnisgleichung und Produktgleichung
Guten Abend!
Ich benötige Hilfe bei einer Aufgabe zum Thema Verhältnisgleichung und Produktgleichung. Die Aufgabenstellung ist wie folgt:
(a² - b²) : x = (a - b) : (a + b)
Ich bin wie folgt bei dieser Aufgabe vorgangen ( / bedeutet einen Bruchstrich):
1. Schritt: (a² - b²) / x = (a - b) / (a + b)
2. Schritt: (a² - b²) * (a + b) = x * (a - b)
3. Schritt: a³ + a²b - b²a - b³ = xa - xb
Ab dieser Stelle bin ich ratlos. Habe ich irgendeinen Fehler eingebaut? Wäre nett, wenn ihr mir helfen könntet.
Grüße, 187Fizzle
3 Antworten
A.Ich nehme mal an, die Aufgabenstellung besteht darin zu untersuchen, welche x diese Verhältnisgleichung erfüllen. Die Antwort steht bei Nessie39; der "Witz" der Aufgabe war auch sicher, das Binom zu erkennen.
B. Allerdings fehlen nach meinem Geschmack noch ein paar Aussagen. Zum Beispiel darf x nicht 0 sein, weil sonst auf der linken Seite der Verhältnisgleichung durch x dvidiert wird. Auch darf nicht a = -b sein, weil sonst auf der rechten Seite der Verhältnisgleichung durch a+b = 0 dvidiert wird.
C. Auch fehlt eine Fallunterscheidung (sowas ist eher noch wichtiger): Damit das Ergebnis von Nessie39 herauskommt, muss a - b ungleich 0 sein (also muss a ungleich b sein), weil sonst die Nessies Umformung "dividiere durch (a-b)" nicht erlaubt ist (Das ist dann Fall 1).
Also gibt es noch den Fall 2, nämlich dass eben doch a=b ist. Dann kann aber x sein, was es will: Die Verhältnisgleichung ist immer erfüllt, denn die linke und die rechte Seite der Verhältnisgleichung sind dann "sowieso" immer 0 ( für beliebige x ).
psychironiker
Vielen Dank für die vielen ausführlichen Ergänzungen!
So weit hatte ich es dann doch nicht mehr gedacht. Aber du hast natürlich Recht!
Ich versteh den Sinn der Aufgabe grad noch nicht so ganz, aber vielleicht hilft es, wenn ich dir sage, dass a²-b² das Ergebnis der dritten binomischen Formel ist.
a²-b²=(a+b)(a-b)
Damit kannst du deine Glaichung auch wie folgt schreiben:
(a²-b²) / x = (a-b) / (a+b)
[(a+b)(a-b)] / x = (a-b) / (a+b) | * x | : (a-b)
(a+b) = x / (a+b) | * (a+b)
(a+b)² = x
Bei a²-b² muss dich die 3. binomische Formel förmlich anspringen. Das ist ein Klassiker bei solchen Aufgaben. Wenn du dann aus
a²-b²=(a+b)(a-b)
machst, dann geht die Aufgabe gleich viel leichter.
(a²-b²)x=(a-b)/(a+b)
(a²-b²)(a+b)=x(a-b)
(a-b)(a+b)(a+b)=x(a-b) -> Beide Seiten durch a-b teilen, wobei a-b ungl =, also a ungl. b
(a+b)²=x