Verändert sich das Verhältnis von Volumen zur Oberfläche, wenn man einen Würfel in seiner größe ändert?
irgendwie ergibt das keinen Sinn. Ein Würfel, der so groß ist wie ein Atom, ist doch identisch zu einem Würfel, der so groß ist wie eine Galaxie. Ein Würfel ist ein Würfel. Wie können sich da die Verhältnisse ändern?
9 Antworten
Hallo,
man kann sich die Formel des Verhältnisses leicht überlegen.
Ist x die Seitenlänge (z.B. in Meter) eines Würfels, dann ist das Volumen V
in Abhängigkeit zu x
und die Oberfläche O des Würfels in Abhängigkeit zu x
Es gilt also
Das Verhältnis V/O hängt also linear von x ab.
Gruß
Wie können sich da die Verhältnisse ändern?
Weil sich das Volumen mit der dritten Potenz ändert, die Oberfläche aber nur mit dem Quadrat.
Beispiel:
Würfel mit Seitenlänge a:
Oberfläche: 6a²; Volumen: a³
Würfel mit Seitenlänge 2a:
Oberfläche: 6(2a)² = 24 a²; Volume: (2a)³ = 8a³
Die Oberfläche vervierfacht sich also bei doppelter Seitenlänge, während das Volumen sich verachtfacht.
Hallo,
das ändert sich sogar, wenn Du nichts an dem Würfel veränderst, sondern nur andere Einheiten benutzt.
Nimm einen Würfel von einem Meter Kantenlänge.
Seine Oberfläche mißt dann 6 m², sein Volumen 1 m³.
Du bekommst also sechs mal so viele Quadratmeter wie Kubikmeter.
Nun teile den gleichen Würfel in Dezimeter (10 cm) ein.
Die Kantenlänge ist nun 10 dm, die Oberfläche sind 6*10² dm²=600 dm².
Das Volumen mißt 10³ dm³=1000 dm³.
Nun hast Du bei genau dem gleichen Würfel, an dem sich nicht das Geringste verändert hat, auf einmal weniger Quadratdezimeter als Kubikdezimeter, obwohl es vorher noch sechsmal so viele Quadratmeter wie Kubikmeter waren.
Die unterschiedlichen Verhältnisse haben also weniger mit den unterschiedlichen Größen der Würfel zu tun als mit den Maßstäben, die man an sie anlegt.
Vergleichst Du unterschiedlich große Würfel, wenn Du einen vom jeweiligen Würfel abhängigen Maßstab anlegst, wirst Du bei jeder Größe das gleiche Verhältnis vorfinden.
Nimm anstelle von Meter, Dezimeter, Zentimeter, Zoll, Fuß oder Meilen als Maßstab einfach die Kantenlänge des jeweiligen Würfels als Einheit - schon sind die Unterschiede weg.
Egal wie groß der Würfel ist: Seine Oberfläche besteht aus 6 Quadratkantenlängen, sein Volumen aus einer Kubikkantenlänge.
Herzliche Grüße,
Willy
Das stimmt so nicht . Das Verhältnis von Volumen zu Oberfläche ist nicht dimensionslos, sondern hat die Einheit einer Länge . Das Verhältnis beim Würfel ist a³ / 6a² = a/6, und dies ist eine Länge, und diese ist bei jedem Würfel nur abhängig von eben der Länge und nicht von der Einheit, in der du diese Länge misst. In deinem Beispiel von oben hast du einmal ein Verhältnis von 1/6 m und im zweiten Beispiel von 10/6 dm, und dies ist aber dasselbe.
Das Verhältnis von Volumen zu Oberfläche hat also allein mit der Größe des Würfels zu tun und nichts mit der Einheit.
das ändert sich sogar, wenn Du nichts an dem Würfel veränderst, sondern nur andere Einheiten benutzt.
Genau, und das verdeutlich doch, dass sich da nicht wirklich was verändert, es ist nur Zahlenspielerei
Aber natürlich immer! Schau dir doch einfach die 2 Formeln an und spiele 2-3 Zahlen durch!:
V = a³ und O = 6 *a² Bei a=6 wäre das Verhältnis 1! Daraus ergibt sich, dass mit jedem a das verhältnis anders wird!
Verändert sich das Verhältnis von Volumen zur Oberfläche, wenn man einen Würfel in seiner größe ändert?
Schreib Dir die Formeln für Oberfläche und Volumen auf, setze verschiedene Seitenlängen aus und komm zur Erkenntnis.