Vektroen zu einer Orthonormalbasis erweitern..
Ich hab hier eine Aufgabe, bei der ich nicht wirklich weiter komme....
Siehe Anhang.
Ich soll 2 vorhandene Vektoren zu einer Orthonormalbasis erweitern..
Soviel ich weiß, muss ich jetzt einen 3ten Vektor finden der senkrecht zu den beiden anderen steht, und dann alle 3 vektoren normieren.
Ich komm leider nur bis:
x + 2y +2z = 0
-2x -y + 2z = 0
somit hab ich dann ein unterbestimmtes LGS.
Nur leider keinen dunst wie ich das lösen soll..
vieleicht kann mir ja wer helfen :) danke euch!
4 Antworten
Es gibt ja unendlich viele orthogonale Vektoren. D. h. du kannst dir z. B. für z jeden beliebigen Wert ungleich 0 aussuchen, etwa z = -1 und bekommst:
x + 2y = 2
-2x - y = 2
Macht z. B. mit dem Additionsverfahren
-2x + 4y = 4
-2x - y = 2
3y = 6
also y = 2 und damit (oben eingesetzt) x= -2
Damit hast du (-2, 2, -1) als einen orthogonalen Vektor. Den normierst du jetzt -> fertig. Aufpassen musst du nur, wenn im GLS nicht alle Werte mehr vorkommen, wenn also etwa gilt:
1 * x + 0 * y + 0 * z = 0, dann ist x = 0 schon mal fest und du kannst nicht einfach so vorgehen wie eben.
Natürlich ist dein LGS unterbestimmt! Denn es gibt (in R_3) unendlich viele Vektoren, die zu deinen beiden anderen senkrecht stehen. Aber nur 2 haben die Länge 1.
Warum nicht einfach das Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren anwenden? http://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren
Du bestimmst irgendeinen Lösungsvektor (praktischerweise, indem einer der Variablen den Wert 1 zuweist, so dass ein vollständig bestimmtes 2x2-System entsteht).
Dann dividierst du alle drei Vektoren ihren jeweiligen Betrag - fertig.
Bis auf Vorzeichen kommt heraus:
1/3(-2 -1 2), 1/3(1 2 2), 1/3 (2 -2 1).