Vektorgerade?
Moin,
ich schaue mir hier ein Video von Simple Maths an, indem der Abstand zwischen einem Punkt und einer Gerade bestimmt werden soll.
Wie genau wird hier der Verbindungsvektor aufgestellt ich kapier das irgendwie nicht?
Woher kommt aufeinmal die minus eins und die minus 7 und die 1 bei dem PX vektor?
2 Antworten
P(1/2/5) → Ortsvektor p(1/2/5)
Gerade g: x=a+r*m
a(2/9/4)
p-a=(1/2/5)-(2/9/4)=(-1/-7/1)
Dieses Verfahren sehe ich zum 1.ten mal
Ich benutze immer das Lotfußpunktverfahren
Hilfsebene Normalengleichung der Ebene E: (x-a)*n=0
P(1/2/5)=a(1/2/5) benutzen wird als Stützpunkt für die Ebene
Richtungsvektor m(3/-4/1) ist der Normalenvektor der Ebene n(3/-4/1)
E: (x-(1/2/5)]*(3/-4/1)=0
Die Gerade ist hier die Lotgerade,die senkrecht auf der Hilfsebene steht,deshalb ist auch der Richtungsvektor m(3/-4/1) auch der Normalenvektor der Ebene n(3/-4/1)
Gerade in die Ebenengleichung eingesetzt
[(2/9/4)+r*(3/-4/1)]*(3/-4/1)=0
mit dem Skalarprodukt a*b=ax*bx+ay*by+az*bz
ergibt dann umgestellt nach den Parameter r=1
In die Gerade eingesetzt,ergibt das den Fußpunkt (Schnittpunkt mit der Ebene)
dann Abstand von 2 Punkten im Raum
Betrag d=Wurzel((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)
P(x1/y1/z1)=(1/2/5) und Pf(x2/y2/z2) → ist der Schnittpunkt mit der Ebene
Ich habe hier die Formel aus meinem Mathe-Formelbuch
Gerade g: x=a+r*m und den gegebenen Punkt Po(x/y/z) → Ortsvektor po(x/y/z)
Abstand Betrag d| (m/|m|) kreuz (po-a) | hier a(ax/ayaz) Stützpunkt der Geraden
Betrag m=Wurzel(mx²+my²+mz²)=5,099
m/|m|=mx/|m|+my/|m|+mz/|m|=0,588-0,784+0,1916
m/|m|=mo ist der Einheitsvektor mit den Betrag m=1
po-a=(1/2/5)-(2/9/4)=(-1/-7/1)
mo kreuz (-1/-7/1)=(0,5572-0,7796-4,9 Betrag d=5 ist der Abstand
Ich habe das nach der Formel wie hier zu sehen gemacht:
scheint ihrer Formel ähnlich
und dabei komme d= 3,8129
Nicht das diese Formel komplett falsch ist
kürzester Abstand der Punkte ist d=5
Punkt auf der Geraden bei r=1 Pgerade(5/5/5)
(x/y/z)=(2/9/4)+1*(3/-4/1)
x-R.: x=2+3=5
y-R.: y=9+1*(-4)=5
z-R.: z=4+1*1=5
Abstand Betrag d=Wurzel((5-1)²+(5-2)²+(5-5)²)=5
Mach Proberechnungen mit r=1,5 und r=0,5 dann ist d>5
Hinweis:mach eine Proberechnung auf ein Blatt Papier
z=0
eine Gerade zeichnen und einen Punkt P(x/y)
Den Abstand kannst du dann direkt ausmessen.
Dann überprüfst due deine Formeln auf Richtigkeit mit der z-Komponente z=0
Man hat hier den Vektor X(2+3r|9-4r|4+r|) sowie den Punkt P(1|2|5), den man als Ortsvektor interpretieren kann. Bei Verbindungsvektoren rechnet man ja salopp gesagt "Endvektor minus Anfangsvektor". Hier ist nun X der Endvektor und P der Anfangsvektor. Damit ergibt sich dann PX. Bspw. entsteht die erste Komponente von PX wie folgt:
Analog für die zwiete und dritte Komponente von PX.
große Buchstaben verwendet man für Punkte
kleine Buchstaben verwendet man für Vektoren
1) ein x-y-z-Koordinatensystem zeichnen
Punkt P(1/2/5) → Ortsvektor p(1/2/5)
Anfang vom Ortsvektor liegt im Ursprung P(0/0/0) des x-y-z-Koordinatensystem
Vektor von Punkt P nach Punkt X ist ein "Richtungsvektor"
Anfang des Richtungsvektors liegt im Punkt P und die Spitze im Punkt X
Die ganze Aufgabe ist nur eine Vektoraddition und Vektorsubtraktion und natürlich wird auch das "Skalarprodukt" a*b=ax*bx+ay*by+az*bz=0 angewendet,wenn 2 Vektoren "senkrecht" aufeinander stehen
Ich benutzte jetzt die Formel d= I (P- Vektor a) Kreuzprodukt Vektor b I /I Vektor BI
(I I stellt betrag da )
Das geht doch auch oder ?
Ich komme immer noch auf ein anderes Ergebnis als im Video
Beim Kreuzprodukt habe ich alles richtig gemacht und mit einem Programm nachrechnen lassen.
Ich benutzte jetzt die Formel d= I (P- Vektor a) Kreuzprodukt Vektor b I /I Vektor BI
(I I stellt betrag da )
Das geht doch auch oder ?
Ich komme immer noch auf ein anderes Ergebnis als im Video
Beim Kreuzprodukt habe ich alles richtig gemacht und mit einem Programm nachrechnen lassen.