Vektoren als Linearkombination darstellbar?
Hallo, ich verzweifle gerade an einer Aufgabe, in welcher man beweisen soll, dass jeder Vektor als Linearkombination der beiden anderen Vektoren darstellbar ist. Hier ein Bild von der Aufgabe.
2 Antworten
gegeben: 2 Vektoren a(ax/ay/az) und b(bx/by/bz)
daraus kann man durch eine Linearkombination unendlich viele Vektoren c(cx/cy/cz) machen
Formel c=r*a+s*b hier sind r und s Parameter,nur Zahlen
Diese Formel nennt man "Linearkombination"
Das Ganze ist eine Vektoraddition c=a+b,wobei man die Vektoren a und b mit Parametern (Verlängerung,Richtungsänderung) multipliziert.
r und s sind frei wählbar,so das es unendlich viele Möglichkeiten gibt.
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar (Zahl) r*(ax/ay/az)=((r*ax)/(r*ay)/(r*az))
Beispiel: a(1/2/3) multipliziert mit r=2 → 2*(1/2/3)=(2*1)/(2*2)/(2*33))=(2/4/6)
Der Vektor ist somit doppelt so lang
Betrag |a|=Wurzel(1²+2²+3²)=3,74... Betrag |2*a|)=Wurzel(2²+4²+6²)=7,483..
Probe: 7,483/2=3,741.. stimmt
Seien u, v, w die drei Vektoren
Dann musst du reelle Zahlen a und b finden sodass gilt:
au+bv=w
Wenn du jede Zeile der Vektoren einzeln betrachtest erhälst du dadurch ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen.
Um dann die anderen beiden Vektoren dazustellen, musst du dann einfach nur die Linearkombination nach dem jeweiligen Vektor umformen
Oder:
Zeige dass die Vektoren Paarweise Linear unabhängig sind. Dann bilden jeweils zwei Vektoren eine Basis von R^2, weswegen der dritte Vektor sich als Linearkombination der anderen beiden schreiben lässt
(Dafür müsstet ihr aber Basen und lineare unabhängigkeit gehabt haben)