Wie funktioniert Linearkombination von Vektoren?
Hi,
ich hänge in Mathe an Linarkombinationen fest, an einer Aufgabe die ich nicht nachvollziehen kann. Ich habe folgende Vektoren gegeben: x=(+2 -5 +3), a=(-2 +3 +1), b=(+6 -11 +1), a=(0 -1 +2) Die Aufgabe ist die, dass ich Vektor x als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen soll und auftretende Sonderfälle diskutieren soll, außerdem die Anzahl linear unabhängiger Vektoren ermitteln soll.
Ich weis aber nicht, wie Linearkombination von Vektoren funktioniert und wie ich auf die Sonderfälle (falls es welche gibt) komme und was ich mit denen machen muss? Kann mir das jemand an dem Beispiel erklären, denn ich habe bisher im Internet nichts verstanden.
Vielen Dank schon einmal für die Antworten. LG worldni
4 Antworten
Eine lineare Abhängigkeit besteht, wenn zwei Vektoren kollinear (parallel) oder drei Vektoren komplamar (in einer Ebene liegend) sind.
Wenn du zwei Vektoren prüfst, schaust du, ob der eine sich aus dem anderen ergibt, also x=ta, wobei t eine ganz normale Zahl ist.
Du prüfst also, mit welchen Wert du den x-Wert von Vektor x multiplizieren musst, um auf den x-Wert von Vektor a zu kommen.
2=-2t --> t=-1
Jetzt prüfst du das für die y- und z-Werte und wenn da t auch -1 ist, sind sie linear abhängig, nämlich parallel.
Drei Vektoren sind komplanar, wenn sich einer von ihnen aus den beiden anderen ergibt, also x=as+br, wobei auch hier s und r normale Zahlen sind.
Man sieht an diesen Fragen, daß die Lehrer völlig unfähig sind von A bis Z, das Thema Vektoren durchschaubar zu machen! Wie sagte doch der große Pädagoge, der Gymnasiallehrer u. Gründer der Berufsschulen, Dr. Kerschensteiner? "DA WO DIE LEHRPLÄNE UND LEHRMITTEL aufhören, da fängt unsere Arbeit an". Hoffe, dass dies ein paar dieser Spezies lesen!30.8.10, Dr.No
mE wenn m=n=o=0 dann linear unabhängig und wenn einer von ihnen aber ungleich 0 dann abhängig. gruß ej
Linearkombination bedeutet, dass Du den Vektor x durch die Addition der Vektoren a, b und c darstellen kannst.
Dazu stellst Du folgendes Gleichungssystem auf:
x = m . a + n . b + o . c
(a, b und c sind dabei Vektoren, m, n und o sind reelle Zahlen und das, was Du suchst).
Daraus wiederum erhältst Du folgende 3 Gleichungen mit 3 Unbekannt (m, n und o):
2 = -2m +6n + 0 und -5 = 3m -11n -1o und 3 = m + n +2o
Dieses Gleichungssystem auflösen (es ist lösbar). Ergibt sich dabei, dass einer der Faktoren m, n oder o = 0 ist, so ist der zugehörige Vektor linear abhängig (das wäre dann einer der Sonderfälle).
Nach der Lösung des Gleichungssystems hast Du die Linearkombination, der Vektoren a, b und c, die den Vektor x ergibt.