unterschied zwischen integralwert und flächeninhalt eines integrals?
frage steht eigenstchlich schon oben aber irgendwo muss man doch ein minus davor schrieben wenns unterhalb der x-achse is...wo is das?
2 Antworten
Das Integral I berücksichtigt das Vorzeichen der Integrandenfunktion f. Das möchten wir bei einer Fläche natürlich nicht haben, da nur positive Flächeninhalte sinnvoll sind. Man kann das schreiben als,
A = I(dx; [a;b], |f(x)|),
wobei |:|:R -> R^+, x|-> sign(x) * x die Betragsfunktion ist, vermöge derer man R zu einem normierten Raum machen kann. Die o.g. Gleichung löst dann das Vorzeichenproblem. Es bleiben dann die Nullstellen des Integranden zu bestimmen, um den Betrag evaluieren zu können.
VG, dongodongo.
Beispiel: Du willst die Fläche berechnen, die die Sinuskurve zwischen -π und π mit der x-Achse einschließt.
Dann machst du schön gemütlich eine Integralrechnung mit
∫ sin(x) dx = -cos(x) + C = F(x) + C
und versuchst, die Fläche wie gewohnt mit der Stammfunktion zu berechnen:
A = F(π) - F(-π) = -cos(π) - (-cos(-π)) = 1 - 1 = 0
Nanu ?! Die eingeschlossene Fläche ist doch nicht null?
Des Rätsels Lösung:
Integrale unterhalb und oberhalb der x-Achse haben unterschiedliches Vorzeichen. Hier ist
∫ sin(x) dx < 0 zwischen -π und 0
(in Zahlen: -cos(0) -(-cos(-π)) = -2 < 0), aber
∫ sin(x) dx > 0 zwischen 0 und π
(in Zahlen: -cos(π) -(-cos(0)) = +2 > 0).
Die tatsächlich eingeschlossene Fläche ist die Summe der Beträge der Integrale von Nullstelle zu Nullstelle, hier also | -2 | + | 2 | = 4, und keineswegs die Summe der Integrale selbst, denn diese ergäbe hier z.B. (-2 +2 = ) 0.
Dabei "unterbrechen" das Integral nur solche Nullstellen, an denen die Integrandenfunktion das Vorzeichen wechselt (warum wohl)? - Berechne dazu selbst mit Integral
- die Fläche zwischen y = x² und der x -Achse zwischen -2 und 2
- die Fläche zwischen y = -x² und der x -Achse zwischen -2 und 2.
Wie ist das aber mit
- der Fläche zwischen y = x²-1 und der x -Achse zwischen -2 und 2?