[Mathe] Fläche zwischen zwei Graphen berechnen?
Guten Tag,
ich habe ein paar Fragen zum Thema Flächeninhalt zwischen Graphen bestimmen. 😊
Wie bestimme ich hier bei Station 1 die Nullstellen, denn ich kann nur -1 und 3 ablesen, aber die dritte ihn der Mitte nicht?Und die abc-Formel geht ja nur bei x^(2) meines Wissens nach.
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Bei Station 1 würde ich einfach das integral aufstellen zwischen 2,5 und 1. Hier wird ja kein negativer Wert abgezogen (unter der x-Achse) und ich muss nichts weiteres beachten.
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Hier bei der Station 3 gibt es doch auch eine andere Schreibweise, dass es immer positiv ist. Nur habe ich es noch nie gemacht und verstehe es noch nicht so.
Das steht als Hilfe zum lösen auf dem Infoblatt für Aufgabenteil 2 von Station 3:
“1. Negativ, weil Fläche unterhalb der x-Achse
2. Negativer Integralwert mit (-1) multiplizieren
-> positive Fläche“
Aber es gibt so eine einfachere Schreibweise, als immer * (-1) zu machen als extra Aufgabenteil, oder?
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Hier würde ich bei der Station 4 die einzelnen Flächen (3 Bereiche) separat ausrechnen, und diese dann addieren. Jedoch stellt sich auch hier für mich die Frage, ob man jedesmal wenn ein negativer Wert rauskommt als extra Punkt * (-1) machen muss?
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Zusätzliche Fragen:
Ich habe auf YouTube auch gesehen, das manche zwei Striche (einen links und einen rechts) am integral machen, was bedeutet, dass es immer positiv ist. Kann mir das vielleicht noch jemand erklären? Muss man das nur machen, wenn man die Fläche berechnen möchte?
Wenn ich einen Flächeninhalt berechnen möchte und in einer Aufgabe die Funktion steht und der Bereich, dann kann es doch immer sein, dass ich auch einen negativen Wert vom positiven abziehe und den Integralwert statt des Flächeninhaltes berechne. Muss man hierzu jedesmal die Nullstellen berechnen, bevor man den Flächeninhalt berechnet? Muss ich dann zudem auch die Extremstellen (Hoch- und Tiefpunkte) berechnen, um zu wissen, ob etwas ober oder unter der x-Achse liegt?
2 Antworten
Station 1: hast Du eine Nullstelle ermittelt (entweder wie hier durch ablesen am Graphen oder ohne Graph durch "probieren" bei solchen Termen) geht es "mathematisch" mit der Polynomdivision weiter, indem Du den Funktionsterm durch (x minus Nullstelle) teilst. (Oder mit dem Horner-Schema). In diesem Fall könntest Du, da man 2 Nullstellen eindeutig ablesen kann, gleich durch [(x+1)(x-3)] teilen, also durch (x²-2x-3).
Station 2: richtig, "einfach" das Integral in den Grenzen 1 bis 2,5 bilden
Station 3: richtig, die Fläche ist negativ, weil die Fläche unter der x-Achse liegt. Vielleicht erinnerst Du Dich noch an die Einführung in die Integralrechnung. Da hat man sich mit immer schmaler werdenden Rechtecken der exakten Fläche genähert. Rechtecksflächen ergeben sich ja aus Breite mal Höhe. Und die Höhe ist durch den Funktionswert angegeben, und der ist unter der x-Achse nunmal negativ...
Geht es um Flächen, umgeht man dieser "Problematik", indem man das Integral in Betragsstriche setzt, also |Int(f(x)dx)|=|F(b)-F(a)|, wobei a die untere und b die obere Grenze darstellen soll. So bist Du auf der sicheren Seite. Einfach mit (-1) multiplizieren ist ja nur dann richtig, wenn die Fläche unter der x-Achse ist, aber das weiß man vorher ja nicht unbedingt!
Station 4: integrierst Du in einem von 0 bis 6 durch, wird die Fläche unter der x-Achse von den anderen beiden abgezogen. Hier musst Du, um an die Fläche zu kommen, 3 Integrale aufstellen, wie Du schon vorhattest. Allerdings, wie bei Station 3 beschrieben, jedes Integral in Betragsstriche setzen.
Zu Deiner zusätzlichen Frage: Wenn es um Flächen geht, musst Du immer die Nullstellen bestimmen und von Nullstelle zu Nullstelle integrieren. Ob die einzelnen Flächen ober oder unter der x-Achse liegen, brauchst Du nicht zu prüfen, wenn Du um die Integrale jeweils diese Betragsstriche setzt.
Anderer "Trick" (aber eher ungewohnt): weißt Du, dass eine Fläche unter der x-Achse liegt (wie bei Station 1), dann tauschst Du einfach für dieses Integral die Grenzen, dadurch wechselt auch das Vorzeichen des Integrals...
Station 1: Nullstellen bei x1 = -1 ; x2 = 0,5 ; x3 = 3
LG H.
Die Nullstellen kann man leicht überprüfen, indem man die x-Werte in die gegebene Funktionsgleichung einsetzt. Die Nullstelle x = 0,5 habe ich durch probieren ermittelt.
Aber kann man das vom Schaubild erkennen und darf man sagen, dass bei x = 0,5 eine Nullstelle ist?
Muss man das nicht rechnerisch machen?