unter welchen winke schneiden sich graphen?
Hallo,
ich weiss bei der Aufgabe 14 nicht weiter. Könnte mir jemand bei der a weiterhelfen?
3 Antworten
Beispielhaft 14c
Wo schneiden sie sich ? Bei xS
x² + 2x = x³
0 = x³ - x² - 2x
0 = x*(x²-x - 2)
xS1 = 0 , mit pq-Formel ergeben sich xS2 = -1 und xS3 = +2
Schnittwinkel ist definiert als der kleinere der beiden Winkel , den die Tangenten der Fkt im Schnittpunkt bilden.
Die Tangenten versinnbildlichen die Steigung , die man mit der ersten Ableitung für jeden Punkt der Fkt bestimmen kann .
f1' ist 2x+2
f2' ist 3x²
Steigung im Punkt 0/0 ist also
einmal 2 (2*0+2) und einmal 0 (3*0²)
Damit kann man über
arctan(0 bzw 2) die Steigungen in Grad bestimmen
arctan(0) = 0°
arctan(2) = 63.43°
Schnittwinkel ist daher 63.43 - 0 = 63.43°
S2 ist -1 ......steigung
3*(-1)² = 3
2*-1 + 2 = 0
arctan(3) = 71.57°
S3 ist 2 .......steigung
3*(2)² = 12
2*2 + 2 = 6
arctan(12) = 85.24°
arctan(6) = 80.54°
Differenz ist 4.70°
PS
mit (2/8) und Steigung 12
heißt die Tangente
8 = 12*2 + b >>> b = -16
also yT1 = 12x - 16
mit (2/8) und Steigung 6
heißt die andere Tangente
8 = 6*2 + b >>> b = -4
also yT2 = 6x - 4
Beide sind zur Verdeutlichung in diesem Graph eingezeichnet.......Nicht so deutlich wie erhofft , aber man sieht : oliv und grün bilden wohl einen Winkel von 4.7°.........:)))
Graph stammt von hier
Die Schnittpunkte berechnen war schon einmal ein guter Beginn; dann die Steigungen der Tangenten ermitteln auch. Aber warum hast Du es durchgestrichen? Die letzte Zeile stimmt: die 1. Ableitung an den Schnittstellen, also für die Parabel (die Gerade hat ja immer die Steigung 2): f'(-1)=-2 und f'(3)=6.
Die Steigung in Grad erhältst Du über den Tangens (Stichwort: Steigungsdreieck), also:
tan(alpha)=delta-y / delta-x und das ist ja eben die Steigung m, also tan(alpha)=m
Nach alpha umgestellt ist das: alpha=arctan(m). (Taschenrechner auf Grad(DEG o.ä.) stellen!)
Hast Du beide Winkel, dann diese voneinander abziehen und den Betrag davon nehmen (oder immer den niedrigeren Winkel vom höheren abziehen).
zu 14a)
Die Schnittpunkte S1 (-1│1) und S2 (3│9) passen.
Die gesuchten Winkel ergeben sich als Differenz der Steigungswinkel der beiden Funktionen in jeweils S1 und S2.
Die Steigungswinkel entsprechen den Tangentensteigungen der Funktionen in S1 und S2.
f1 ist eine lineare Funktion. Die Steigung beträgt 2. Das enspricht einem Steigungswinkel von 63,435° (arctan(2) = 63,435°).
f2 ist eine Parabel. Für die Ermittlung der Steigung ist die erste Ableitung erforderlich.
f2'(x) = 2x
f2'(-1) = -2 ; arctan(-2) = -63,435° ; -63,435° + 180° = 116,565°
f2'(3) = 6 ; arctan(6) = 80,538°
Schnittwinkel in S1:
116,565° - 63,435° = 53,13°
Schnittwinkel in S2:
80,538° - 63,435° = 17,10°