Trapezzahlen rekursiv und explizit- kann mir wer helfen?
Hallo Zusammen :)
Ich bin gerade bei der Prüfungsvorbereitung aber ich komme beim Thema Trapezzahlen einfach nicht weiter. ich habe zwar die Lösungen vorliegen, aber ich weiß nicht, wie man da logisch drauf kommt. T1=1 T2=5 T3=12 T4=22
Die explizite Form lautet: 3n hoch 2-n durch 2 Die rekursive Form lautet: Tn=Tn-1+3n-2
Ich verzweifel noch, weil ich mir nicht herleiten kann, wie man da logisch drauf kommt. Hab mir Winkelhaken und alles möglich rangemalt und mit n eingemalt aber weiß nicht weiter, kann mir wer helfen?
3 Antworten
Bei Deinem Beispiel setzen sich die Trapeze aus einem Quadrat (A=n²) und einem Dreieck zusammen. A = Summe_aller _Zahlen von 1 bis n-1.
Die Summe_aller _Zahlen von 1 bis n = n * (n+1) / 2.
Die Summe_aller _Zahlen von 1 bis n-1 = n * (n-1) / 2.
Mit dem Quadrat ergibt das
n² + n * (n-1) / 2
= (3n²-n) / 2
das mit n * (n-1) / 2 habe ich jetzt verstanden, nur vllt nur deine Hilfe, warum man n-1 und nicht n+1 bei meinem Beispiel nehmen muss. Danke!
wenn ich n² + n * (n-1) / 2 rechne, komme ich nicht auf (3n²-n) / 2 sondern auf (2n²-n) / 2 :-(
n² + n * (n-1) / 2 II Klammer auflösen = n² + n²-1n / 2 II Zusammenfassen = (2n²-n) / 2
Sorry für den 3,Kommentar, schreib es nächstes Mal in einen zusammen
Ein Beispiel für n=3. Du schreibst, T3=12. Das Trapez sieht so aus:
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* * *An diesem Beispiel sieht man, daß die Summe von 1 .. n-1 gebildet wird, im Beispiel von 1 .. 2.
Das Quadrat ist das verbleibende ( quadratische :o) ) Feld aus 9 Sternen.
achsoooooooo gott hatte ich tomaten vor den augen :D vielen vielen dank für deine hilfe, hat zwar lang gedauert, aber nun hab ich es endlich verstanden :))))))))))
... und wie geht es (auch in anderen Fällen), wenn du die Summenformel
∑ k = n(n-1)/2 für k = 1,...,n-1
nicht kennst oder überhaupt keine geometrische Anschauung für eine Rekursionbedingung höherer Ordnung darstellen kannst?
Die rekursive Definition einer Folge <a(n)> sei
a(1) = a1; a(n) = a(n-1) + p(n),
wobei p(n) ein beliebiges Polynom endlicher Ordnung ist. Dann lässt sich mithilfe der Vektorraumstruktur der Polynomalgebra zeigen, dass immer ein Polynom P(n) der Ordnung n+1 existiert, das die Folge <a(n)> explizit darstellt, also:
P(n) = a(n).
P(n) lässt sich mit "eingebautem Induktionsbeweis" bestimmen (so läuft auch der Beweis genannter Behauptung). Hier:
p(n) = 3n -2
ist ein lineares Polynom (Ordnung 1). Also ist das zu findende Polynom quadratisch (Ordnung 2) und hat die Form
P(n) = pn² + qn + r;
für beliebiges n muss gelten (Induktionsschritt):
p(n) = P(n) - P(n-1), also
3n-2 = pn² +qn +r - p(n-1)² -q(n-1) -r
= pn² +qn -pn² +2np -p -qn +q
= (2p)n -p +q;
dies gilt mit Koeffizientenvergleich für beliebige n genau dann, wenn
2p = 3 ⇒ p = 3/2 und
-p +q = -3/2 +q = -2 ⇒ q = -1/2;
nun bestimmst noch das herausgefallene Absolutglied r so, dass P(1) = 1 (Induktionsanfang):
1 = P(n=1) = 3/2 * 1² -1/2 * 1 + r ⇒ r = 0, also
P(n) = 3n²/2 - n/2 +0 = (3n² -n)/2,
wie hier bereits "mit Geometrie" hergeleitet.
Worum geht es?
Willst du die Rekursionsformel aus der expliziten Form herleiten, die explizite Form aus der Rekursionsformel oder die Rekursionsformel aus der Anschauung?
Und hab ich die Formeln richtig interpretiert:
T(1) = 1
T(2) = 5
T(3) = 12
T(4) = 22
T(n) = (3 * n^2 - n) / 2
T(n) = T(n-1) + 3 * n - 2
Anscheinend sehen die Trapeze so aus:
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ich hätte halt nur gern einen Tipp, wie man sowas am besten löst, wenn man nur die Aufgabe hat, anhand der Zeichnung die rekursive und die explizite Form herzuleiten. Ich weiß nicht, wie ich da anfangen muss, zu rechnen um auf die Lösung zu kommen.
Die grafische Darstellung ist so: T(1): 1 Punkt T(2): 22Punkte und darüber 1Punkt T(3): 33Punkte, darüber 2Punkte , darüber 1Punkt (also wie ein Quadrat und darüber 1 Dreieck) T(4): 4*4Punkte, darauf 3Punkte, dann 2Punkte, dann 1Punkt
Ich weiß wie viele Punkte jede Darstellung hat, und wieviel es mehr wird pro Trapez aber daran kann ich doch nicht so eine komplizierte Formel aus dem Ärmel schütteln :-S
wurde nicht richtig dargestellt, soll heißen 2mal2 Punkte, 3mal3 Punkte(also Quadrate)
Der Zeichnung kannst du entnehmen, dass bei jedem Schritt eine Zeile unten und eine schräge Seite hinzukommt. Mehr kommt nicht hinzu.
Jetzt müssen wir bestimmen, wie viele Punkte die neu hinzugekommene Zeile und wie viele Punkte die neu hinzugekommene Seite hat. Und dann noch berücksichtigen, dass diese beiden einen Punkt gemeinsam haben.
Da das Trapez mit der Nummer n n Zeilen hat, kommen an der Seite n Punkte hinzu.
Die Zahl der Punkte der untersten Zeile nimmt jeweils um 2 zu. Damit haben wir
Anzahl der Punkte der untersten Zeile = 2 * n + Konstante
Abzählen ergibt, dass diese Konstante -1 ist.
(Wir könnten auch feststellen, dass jede Zeile einen Punkt mehr hat als die darüberliegende und die oberste genau n Punkte.)
Damit haben wir
T(n) = T(n-1) + n + (2 * n - 1) - 1
(wobei das + n von der Seite kommt, das + (2 * n - 1) von der untersten Zeile und das -1 davon, dass ein Punkt sowohl zur Seite als auch zur untersten Zeile gehört und deshalb doppelt gezählt wurde)
Vereinfachen der rechten Seite ergibt gerade die Rekursionsformel.
Wie kommt man jetzt von so einer Rekursionsformel zu einer direkten Form?
Wenn bei jedem Rekursionsschritt ein Polynom vom Grad k in n addiert wird, also
F(n) = F(n-1) + a0 + a1 * n + a2 * n^2 + ... + ak * n^k
dann ist F(n) ein Polynom vom Grad (k+1), d. h.
F(n) = b0 + b1 * n + b2 * n^2 + ... + bk * n^k + b(k+1) * n^(k+1)
Wenn du diesen Ausdruck in die Rekursionsformel einsetzt (einmal F(n) und einmal F(n-1) ersetzen), erhältst du eine Polynomgleichung. Koeffizientenvergleich ergibt die nötigen Gleichungen, um die b0 ... b(k+1) auszurechnen.
Vielen Dank für deine Hilfe Walto, also das mit dem Quadrat verstehe ich (Länge n mal Länge n ist gleich n² . Ich dachte halt, dass man sich das Dreieck auch noch herleiten muss/kann. Du bist ja auf die Formel gekommen, indem du das Quadrat mit der Summe aller Zahlen von 1 bis n-1 addiert hast. Wie bist du auf die Formel n * (n-1) / 2 gekommen? Muss man sich die einfach merken? Irgendwie hab ich da ein Brett vorm Kopf warum man zu dem Quadrat die Summe aller Zahlen bis n-1 rechnen muss. Und außerdem warum nicht bis n? Und wieso überhaupt das so gerechnet wird. Ich würde mir das gern herleiten können, weil ich ja in der Klausur andere Aufgabentypen bekomme und das dann auch können muss.