Teilbarkeitsregel für die 7 mittels Modulo-Rechnung begründen?
Hat jemand eine Idee wie ich die Teilbarkeit durch 7 auf die Modulo-Gesetze zurückführen kann ? Habe es für 2,3,4,5,6,8,9,10 geschafft aber bei der 7 kriege ich nicht mal ansatzweise was hin.
3 Antworten
Du kannst jede natürliche Zahle n schreiben als Summe über n_i * 10^i mit n_i \in {0..9}.
Überlege dir jetzt mal, was die Reste dieser Zahl bei Division durch 7 sind. Für die n_i ist das einfach zu berechnen, das sind ja auch per Konstruktion immer kleine Zahlen. Für die Zehnerpotenzen kannst du dir ausrechen:
10^0 = 1 = 1 (modulo 7)
10^1 = 10 = 3 (modulo 7)
10^2 = 3 * 3 = 9 = 2 (modulo 7)
10^3 = 2 * 3 = 6 (modulo 7)
10^4 = 2 * 2 = 4 (modulo 7)
10^5 = 4*3 = 5 (modulo 7)
10^6 = 5*3 = 1 (modulo 7)
Dann wiederholen sich die Reste. (du kannst dir separat man überlegen, warum es sechs Reste gibt)
Für die Teilbarkeit kannst du jetzt hingehen und berechnen:
1 * Einer + 3 * Fehler + ... + 5 * Hundertausender + 1 * Millionenstelle + ...
Die Zahl rechnest du dann Modulo 7; wenn da 0 herauskommt, ist die ursprüngliche Zahl durch 7 teilbar.
Die Zwischenschritte musst du selber herleiten.
Indem du a und b zerlegst und dann a-2*b berechnest.
161 = a= 16 , b =1 , 16–2*1 = 14/7 = 2
nur ein "hab nicht wirklich die Ahnung"-Tipp, weil ich grad mal was suchen wollte :
von hier
