Beweis Quadratzahl modulo 11?
Kann mir jemand einen Beweis verlinken in welchem bewiesen wird, dass modulo 11 einer Quadratzahl immer 0, 1, 3, 4, 5, 9 ist?
2 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/RonaId/1611254037495_nmmslarge__0_0_500_500_77a0f43d5804c908f40c8a1b0c260400.jpg?v=1611254038000)
Wir müssen nur die Zahlen x von 0 bis 10 untersuchen.
0 -> 0
1-> 1
2-> 4
3->9
4->5
5->3
6->3
7->5
8->9
9->4
10->1
Für alle größeren Zahlen gilt
(x+11)^2= x^2 +22 x +121
Da 22x +121 = 0 mod 11 ist, bleibt der Rest von x^2, für das der Rest bereits geprüft wurde.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/RonaId/1611254037495_nmmslarge__0_0_500_500_77a0f43d5804c908f40c8a1b0c260400.jpg?v=1611254038000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/fires609ae/1643366010100_nmmslarge__0_0_3002_3003_dcb7401dc73e8c689f6d36b9d2d5dfca.jpg?v=1643366010000)
Ich schreibe gerade an einem Beweis und eine wichtige Voraussetzung ist, das was in meiner Frage steht. Darf ich in meinem Beweis das einfach so aufschreiben wie du?
![](https://images.gutefrage.net/media/user/RonaId/1611254037495_nmmslarge__0_0_500_500_77a0f43d5804c908f40c8a1b0c260400.jpg?v=1611254038000)
Nein, das war mathematisch nicht korrekt, sondern war nur zum Verständnis.
Mit mathematisch regelkonformen Ausdrücken kann ich leider nicht dienen, war nur bis zur 10. Klasse auf Schule.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/TBDRM/1655402433211_nmmslarge__0_666_1080_1080_f7eefb8f128db0f4b803b786d906b453.jpg?v=1655402433000)
n mod 11 = r <=> z • 11 + r = n
n² mod 11 = (z • 11 + r)² mod 11 = (z² • 11² + 2 • z • 11 • r + r²) mod 11 = r² mod 11
Mit natürlichen Zahlen n und z.
Da r = 0, 1, ..., 9 oder 10, ist r² = 0, 1, 4, 9, ..., 81 oder 100. Demnach kann r² mod 11 nur
0 mod 11 = 0,
1 mod 11 = 1,
4 mod 11 = 4,
9 mod 11 = 9,
16 mod 11 = 5,
25 mod 11 = 3,
36 mod 11 = 3,
49 mod 11 = 5,
64 mod 11 = 9,
81 mod 11 = 4 oder
100 mod 11 = 1
sein. Insgesamr erhält man also die Möglichkeiten 0, 1, 3, 4, 5 und 9.
Bei (x+11) hast Du den Exponenten vergessen. Es soll doch sicher (x+11)² heißen.