Beweis Quadratzahl modulo 11?

Kann mir jemand einen Beweis verlinken in welchem bewiesen wird, dass modulo 11 einer Quadratzahl immer 0, 1, 3, 4, 5, 9 ist?

Answer 1

[RonaId]

Wir müssen nur die Zahlen x von 0 bis 10 untersuchen.
0 -> 0
1-> 1
2-> 4
3->9
4->5
5->3
6->3
7->5
8->9
9->4
10->1

Für alle größeren Zahlen gilt
(x+11)^2= x^2 +22 x +121
Da 22x +121 = 0 mod 11 ist, bleibt der Rest von x^2, für das der Rest bereits geprüft wurde.

Comments

[Willy1729]

Bei (x+11) hast Du den Exponenten vergessen. Es soll doch sicher (x+11)² heißen.

[RonaId]

@Willy1729

Ja, danke, ich korrigiere.

[fires609ae]

Ich schreibe gerade an einem Beweis und eine wichtige Voraussetzung ist, das was in meiner Frage steht. Darf ich in meinem Beweis das einfach so aufschreiben wie du?

[RonaId]

@fires609ae

Nein, das war mathematisch nicht korrekt, sondern war nur zum Verständnis.
Mit mathematisch regelkonformen Ausdrücken kann ich leider nicht dienen, war nur bis zur 10. Klasse auf Schule.

[RonaId]

@RonaId

Z.B. fällt mir auf, dass (x+11)^2= x^2 +22 x +121 auch für ein x gelten kann, was noch nicht untersucht wurde, aber durch ebendieses Verfahren weiter aufgelöst werden kann.
Damit wäre das wohl ein rekursiver Beweis.
Wie man das korrekt formuliert, weiß ich nicht.

Answer 2

[TBDRM]

n mod 11 = r <=> z • 11 + r = n

n² mod 11 = (z • 11 + r)² mod 11 = (z² • 11² + 2 • z • 11 • r + r²) mod 11 = r² mod 11

Mit natürlichen Zahlen n und z.

Da r = 0, 1, ..., 9 oder 10, ist r² = 0, 1, 4, 9, ..., 81 oder 100. Demnach kann r² mod 11 nur

0 mod 11 = 0,

1 mod 11 = 1,

4 mod 11 = 4,

9 mod 11 = 9,

16 mod 11 = 5,

25 mod 11 = 3,

36 mod 11 = 3,

49 mod 11 = 5,

64 mod 11 = 9,

81 mod 11 = 4 oder

100 mod 11 = 1

sein. Insgesamr erhält man also die Möglichkeiten 0, 1, 3, 4, 5 und 9.

Woher ich das weiß: Hobby – Mathematik (u. Physik)