Taylorreihen?
Kann mir jemand taylorreihen anhand eines Beispiels erklären z.B. sin(x) hoch 2
1 Antwort
Ich emphele dir, dieses Video zu schauen.
https://youtu.be/pcDFHkpMzYw?feature=shared
Hast du nun die Funktion f(x) = sin²(x) gegeben und willst die Taylorreihe bspw. an der Stelle 0 berechnen, erhälst du
f¹(x) = 2 sin(x) cos(x)
f²(x) = 2 cos²(x) – 2 sin²(x) = 4 cos²(x) – 2
f³(x) = –8 cos(x) sin(x)
f⁴(x) = 8 sin²(x) – 8 cos²(x) = 16 sin²(x) – 8
...
also
f²ⁿ⁺¹(x) = 2ⁿ sin(x) cos(x)
f⁴ⁿ⁺²(x) = 2ⁿ cos²(x) – 2 n
f⁴ⁿ(x) = 2ⁿ sin²(x) – 2 n
und mit der Entwicklungsstelle 0 verbleibt dann nur noch
f⁴ⁿ⁺²(0) = 2ⁿ – 2 n
f⁴ⁿ(0) = –2 n
Die Taylorreihe lautet damit
f(x) = x²/2 – x⁴/12 – x⁸/10080 ± ...
1. alle ungeraden (1, 3, 5, 7, ...)
2. alle geraden in 4-er Schritten, von 2 beginnend (2, 6, 10, 14, ...)
3. alle geraden in 4-er Schritten, von 0 beginnend (0, 4, 8, 12, ...)
Wenn man die Taylorreihe an der Entwicklungsstelle x₀ = 0 berechnet, bleiben nur noch die Terme über, in denen die Ableitungsordnungen 0, 4, 8, 12, 16 und so weiter sind (bei den anderen Ableitungsordnungen komm der Sinus vor und sin(0) = 0 verschwindet).
Kannst du nochmal die allgemeine Schreibweise erklären, einmal sind das die ungeraden Zahlen und dann 2 mal die geraden oder nur die hoch 4 reihe und hoch 2?