Symmetrisches Intervall finden 😫?
Hallo, wäre einer so nett und so fähig mir bei dieser Aufgabe zu helfen bin am verzweifeln.
Danke im Voraus 🙏
1 Antwort
Klären wir erstmal die Begriffe:
- "Symmetrisches Intervall" bedeutet wir haben eine Abweichung a (einen Wert) von der Wendestelle x_w in beide Richtungen. Allgemein kann man es so formulieren: Intervall mit den Grenzen
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- Die durchschnittliche Steigung ist genau die Steigung einer Geraden, die durch die beiden Funktionswerte an den jeweiligen Intervallgrenzen verläuft. Bedeutet konkret: Die Funktion g wird an der linken und dann an der rechten Intervallgrenze ausgewertet. Diese beiden resultierenden Funktionswerte (y1, y2) können dann in die Punktsteigungsform eingesetzt werden und daraus ergibt sich die durchschnittliche Steigung m.
- Der Wert der halben Steigung im Wendepunkt lässt sich direkt ermitteln, indem man die Wendestelle in die erste Ableitung einsetzt und halbiert.
Jetzt muss das ganze noch in einer Gleichung aufgeschrieben und gelöst werden. Gemäß der Aufgabenstellung soll also Folgendes gelten:
Hab es spaßeshalber mal versucht zu rechnen und konnte keine analytische Lösung finden... WolframAlpha aber auch nicht. ;)
Hier ist das ganze mal graphisch dargestellt:
https://www.desmos.com/calculator/xd3gdhwouu
Und die numerische Lösung aus WolframAlpha ist hier.
Die Formel bildet sich aus dem Ansatz (also meiner letzten Gleichung).
Auf der rechten Seite der Gleichung ergibt sich ein durch Einsetzen von x_w ein Wert von -25. Und auf der linken Seite der Gleichung wird das m durch die Punktsteigungsform
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
ersetzt mit
y1 = g(x_w - a)
y2 = g(x_w + a)
x1 = x_w - a
x2 = x_w + a
Die Y-Werte ergeben sich durch Einsetzen der Intervallgrenzen in die Funktion g. Dabei zieht sich das a natürlich durch die ganze Rechnung durch, denn das ist ja genau der Parameter, den wir suchen.
Hat man die beiden Seiten der Gleichung wie beschrieben ersetzt, dann kann man versuchen, das ganze nach a aufzulösen (was hier relativ schwierig ist).
da mir einfach zu viele Werte fehlen.
Das ist leider genau das Problem hier. Die Werte hängen alle von a ab. Wir haben zwar für die Werte entsprechende Formeln, aber explizite Zahlen können damit nicht berechnet werden, solange a nicht bekannt, also die Gleichung nicht gelöst ist.
Ist das eine Aufgabe aus der Oberstufe?
Wie sieht die ganze Aufgabe aus? Vielleicht lassen sich aus dem vorangegangenen Aufgabentext irgendwelche Vereinfachungen ableiten.
Eine andere Möglichkeit, ist eine Näherung der Funktion g zu konstruieren, die eine einfache Berechnung von a zulässt.
Hier bietet es sich an, die Funktion g als eine abschnittsweise definierte Funktion f, bestehend aus linearen Funktionen, zu nähern.
Im Graphen von g sehen wir (weit) links und rechts des Wendepunkts (fast) ein Plateau. Diese Abschnitte nähern wir durch die konstanten Funktionen f1(x) = 180 und f3(x) = 80. Den Bereich zwischen Wendepunkt von g und dem beginnenden Plateau nähern wir als lineare Funktion f2 mit der Steigung des Wendepunkts. (Das Vorgehen ist hierbei wie beim Anlegen einer Tangente):
f2(x) = -50x + 130 +50*(ln(2)+20) = -50x + 130 +50*x_w
Jetzt fehlt unserer Näherungsfunktion f noch die Definition der Abschnitte der einzelnen Teilfunktionen. D.h. wir müssen definieren: wo hört die Funktion f1 auf, wo fängt f2 an, wo hört f2 auf und wo fängt f3 an.
Wenn du dir den Graphen dazu anschaust, sollte es anschaulich werden:
https://www.desmos.com/calculator/pfyo1h53j4
Wir wählen dafür die Punkte, in denen unsere Geradenfunktion f2 die beiden Plateaus oben und unten schneidet, also bei y=180 und y=80.
Also berechnen wir:
180 = f2(x_a)
80 = f2(x_b)
und erhalten nach Auflösen die Werte:
x_a = ln(2) + 19
x_b = ln(2) + 21
Die Funktion f noch mal sauber aufgeschrieben:
f(x) =
f1(x) = 180 für x < ln(2) + 19,
f2(x) = -50x + 130 +50*x_w für ln(2) + 19 <= x <= ln(2) + 21,
f3(x) = 80 für x > ln(2) + 21.
Da sich mit abschnittsweise definierten Funktionen nicht so gut rechnen lässt, treffen wir die Annahme, dass a >= 1 = (x_b - x_a)/2 ist. Anschaulich bedeutet das: Die Intervallgrenzen liegen nicht auf dem Abschnitt von f2, sondern auf den Abschnitten von f1 und f3.
Unter dieser Annahme lässt sich mit der Punktsteigungsform prima rechnen:
Steigung m_f = ( f(x_w + a) - f(x_w - a)) / (x_w + a - (x_w - a))
= (f(x_w + a) - f(x_w - a)) / 2a
Da wir hier mit konstanten Funktionen (streng genommen: Funktionsabschnitten) rechnen, müssen wir den Wert von a gar nicht wissen. Wir müssen nur wissen, dass er größer/gleich 1 ist (siehe Annahme). So ergibt sich:
= (80 - 180) / 2a
Unser ursprünglicher Ansatz gilt immer noch: m_f = g'(x_w) / 2 = -25
-25 = m_f
-25 = (80 - 180) / 2a = -100 / 2a
>>> a = 2
Es sei noch mal klargestellt, dass a = 2 nicht die exakte Lösung des ursprünglichen Problems ist. Es ist die (exakte) Lösung der Näherungsfunktion und damit selbst auch nur eine Näherung für das ursprüngliche Problem.
Mit einer relativen Abweichung von über 4% ist sie evtl. nur bedingt brauchbar.
Vielen Dank für deine Antwort. Leider weiß ich nicht, wie ich die Formel bilden soll. Den Ansatz hatte ich soweit tatsächlich auch schon, mir fehlen leider nicht nur die oberen und unteren Intervallgrenzen, sondern auch die Y Werte Werte für die gesuchten Intervallgrenzen. Ich bekomme im Kopf keine logische Verbindung zwischen der durchschnittlichen Änderung um die Stelle Xw und dem symmetrischen Intervall, da mir einfach zu viele Werte fehlen.