Summenformel Herleitung?

Kann mir jmd erklären warum die beiden von mir eingeringelten Ausdrücke im Prinzip dassselbe aussagen?

Answer 1

[Niemand18]

in der rechten Summe wurde einfach der (n+1)-te Summand eingesetzt, dann sind es nur noch n-Summanden und da ein Minus vor der Summe steht, wird auch das (n+1)-te Summand

Woher ich das weiß: Hobby – Selbststudium

Answer 2

[evtldocha]

Achte auf den Laufindex k der jeweiligen Summen.

Erste Summe: Man zieht den ersten Wert für k=0 (q⁰=1) aus der Summe heraus und beginnt dann die Summe mit k=1:

$\sum_{k=0}^nq^k\ =\ 1\ +\sum_{k=1}^nq^k$

Zweite Summe: Man zieht den letzten Summanden für k=n+1 aus der Summe heraus und lässt die dann die Summe nur noch bis k=n laufen:

$\sum_{k=0}^{n+1}q^k\ =\sum_{k=0}^nq^k\ \ \ +\ \ q^{n+1}$

Jetzt noch das Minuszeichen. Das muss man dann auch so verstehen

$-\sum_{k=0}^{n+1}q^k=-\left(\sum_{k=0}^{n+1}q^k\right)=-\left(\sum_{k=0}^nq^k\ +q^{n+1}\right)=-\sum_{k=0}^nq^k-q^{n+1}$

Answer 3

[TUrabbIT]

Links wie rechts wurde ein Randwert ausgegliedert. Links q^0=1 und rechts q^(n+1). So laufen nun beide Summen von 1 bis n und lösen sich, nun offensichtlich, gegenseitig auf. Es bleiben die beiden Randwerte.

Rechts kannst du statt

-E_{k=1}^{n}-q^(k+1) auch

-(E_{k=1}^{n}+q^(k+1)) schreiben. Dann ist es noch etwas leichter zu erkennen