Stetigkeit einer Funkt mit zwei Variablen untersuchen?
Hier wurde für die Stetigkeitsuntersuchung auf der Parabel untersucht und hat als Ergebnis die Unstetigkeit. Das Untere Bild ist wie ich es gerechnet habe und wie wir in der Übung die anderen Beispiel aufgaben berechnet haben, nämlich auf den Geraden x und y. Warum kommt bei mir unten raus das die Funktion stetig ist und oben nicht? Und warum steht neben dem "=" nochmal 1-x dahinter?
2 Antworten
Für die Stetigkeit im mehrdimensionalen Raum reicht es NICHT, dass du den Verlauf auf zwei Geraden untersuchst, denn die Folgenstetigkeit muss für jede beliebige Folge von Punkten gelten.
Zur Musterlösung:
Wenn du bei der Klammer im Nenner noch ein x rausziehst und dann mit dem Nenner kürzt erhälst du den Term 1-x, das bedeutet dass die Funktionswerte der Punkte (x,x^2) sich wie die Funktion 1-x verhalten.
Wenn du hier nun x=0 einsetzt bekommst du den Funktionswert 1, Was somit bedeutet, dass die Funktion nicht stetig sein kann, da eine Folge von Funktionswerten gefunden wurde, die gegen einen anderen Wert geht.
Merke dir: um zu zeigen dass etwas stetig ist, ist Folgenstetigkeit suboptimal, da die FÜR ALLE Folgen gelten muss.
Um zu zeigen dass es nicht stetig ist, reicht es hingegen eine einzige Folge zu finden die nicht gegen den richtigen Funktionswert konvergiert
Genau.
x^y wäre ein Beispiel dafür, da es bei (0,0) unstetig ist, denn 0^y=0 und x^0=1
Die Punktfolge muss aber auch nicht entlang einer Geraden liegen. Z.b gibt es funktionionen, die stetig sind, wenn man sie auf eine Urspungsgerade beschränkt, die jedoch trotzdem an dem ursprung unstetig ist
In diesem Video werden ab ca. 17:50 Uhr besondere Fälle zur Stetigkeit von Funktionen mehrerer Veränderlicher vorgestellt. Deutlich wird: Eine Untersuchung darf nicht auf die Koordinatenachsen beschränkt werden.
Ok ja verstehe jetzt wie sie das in der Musterlösung berechnet haben. Und meinen Lösungsweg benutzt man eigentlich nur um die Unstetigkeit einer Funktion zu beweisen, wenn man direkt erkennt, dass es so schnell möglich ist oder?