Stellenwertsysteme (Begründung)?
"Begründen Sie, dass die Gleichung 405(g) + 32(g) = 512(g) für
jede
beliebige Basis g ∈ N mit g > 5 falsch ist."
Mir ist klar, dass ich auf Variabler Ebene begründen muss. Ich weiß aber leider nicht Wie. Ich habe versucht, 4g hoch 2 + 0g + 5g hoch 0 + 3g hoch 1 + 2g hoch 1 = 5g hoch 2 + 1g hoch 1 + 2g hoch 0 gleichsetzen . Meiner Meinung ist das aber eine Ungleichung. Reicht das als Beweis? Muss ich nach g auflösen und kriege dann eine Erkenntnis?
2 Antworten
Mit dem Stellwertsystem wie gerade erhälst du für natürliche g > 5
4 • g² + 0 • g¹ + 5 • g⁰ + 3 • g¹ + 2 • g⁰ = 5 • g² + 1 • g¹ + 2 • g⁰
nachdem man alle Potenzen zusammenfasst auf einer Seite
0 = 1 • g² + (–2) • g¹ + (–5) • g⁰
und anwenden der pq-Formel
g = 1 ± √( 1 + 5 ) ∉ ℕ
Da √6 irrational ist, ist g nicht natürlich. Die Behauptung wurde bewiesen.
Wieso ist das eine Ungleichung? Üblicherweise versteht man darunter etwas mit >, <, >=, <=.
Du kannst versuchen, nach g aufzulösen - ist wenigstens eine der Lösungen der quadratischen Gleichung eine positive ganze Zahl?
Gemeint ist wahrscheinlich, dass ihr mit den speziellen Eigenschaften von Stellenwertsystemen nutzen.
Einerstelle: 5 + 2 = 2 + a1 * g mit 0 <= a1 (a1 >= g schadet nicht)
Da 5 Primzahl ist bleiben für g nicht mehr viele Möglichkeiten übrig. Passt dies für die Stelle g^1?
Es müsste (–5) sein, ändert aber nichts an der Aussage