Steigung der Tangente an einer Ellipse?
Hallo, ich konnte die folgende Aufgabe micht lösen, bitte um Hilfe🙏🏻🙏🏻
Punkt P (-4|8) liegt außerhalb der Ellipse
ell: x^2+3y^=52.
Wie müsste die Steigung k der Gerade sein, damit die Gerade (welcher den Punkt P berührt) mit der Ellipse 1) einen, 2)keinen 3) zwei Berührungspunkte hat.
1 Antwort
Die gerade hat die Funktionsgleichung:
y = kx + d
Wenn du hier den Punkt einsetzt erhältst du
8 = -4k + d
d = 8+4k
Somit lautet dann die Geradengleichung:
y = kx + 8+ 4k
-------
ell: x^2+3y^2=52
Umstellen nach y:
3y^2 = 52 - x^2
y^2 = 52/3 - x^2/3
Die Gleichungen für die beiden ellipsenhälften lauten:
y1 = wurzel (52/3 - x^2/3)
y2 = - wurzel (52/3 - x^2/3)
Uns interessiert nur y1 denn die gerade kann y2 nicht berühren, nur schneiden
Nun setze die Geradengleichung mit der ellipsengleichung (y1) gleich und stelle die Gleichung nach x um. Dabei verwende die pq-Formel, dadurch erhältst du einen wurzelausdruck.
Dann setze den Ausdruck unter der Wurzel(die Diskriminante) gleich 0 und berechne k.
Man setzt den Wurzel Ausdruck deswegen Null da bei der pq-Formel der Wurzel Ausdruck einmal addiert und einmal subtrahiert wird dadurch entstehen zwei Lösungen. Ist der Ausdruck unter der Wurzel jedoch null entsteht nur eine Lösung. Zwei Lösungen entstehen wenn eine gerade die ellipsenhälfte zweimal schneidet, dieser Fall interessiert uns aber nicht. Je kleiner der Ausdruck unter der Wurzel ist desto näher liegen die beiden Schnittpunkte dem Berührungspunkt. Ist der Ausdruck unter der Wurzel 0 fallen sozusagen die beiden Schnittpunkte mit dem Berührungspunkt zusammen. Genau dieser Fall interessiert uns hier.
Die beiden Steigungen der gerade für die beiden Berührungspunkte lauten laut Rechenprogramm
k1= -5/9
k2= 7/3
Für jede dieser Steigungen hat die gerade genau einen Berührungspunkt. Für alle anderen Steigungen hat die gerade keinen Berührungspunkt
Es gibt keine einzelne Steigung für die die gerade zwei Berührungspunkte hat, mach dir eine Skizze dann leuchtet dir das sofort ein
Mach dir überhaupt eine Skizze von der Ellipse und von den geraden mit den beiden von mir ermittelten Steigungen - das fördert das verständnis- diese Skizzen kannst du dir ja am Bildschirm ohne viel Aufwand zeichnen lassen