Sprungantwort eines LTI-Systems?

Ich verstehe nicht wie man zu dem Ergebnis unten gekommen ist bzw. warum der Graph ein Schräge hat ?

Danke

Answer 1

[poseidon42]

Es sei die Impulsantwort gegeben zu:

h(t) = s(t) - s(t - 1)

also ein Rechteck der Länge 1 mit Zentrum bei t = 0.5. Für die Sprungantwort g(t) folgt dann:

g(t) = conv(h(t), s(t))

wobei conv(a, b) die Faltung der Signale a und b beschreibt. Benutzte die Linearität der Faltung, so dass

g(t) = conv(s(t) - s(t - 1), s(t)) = conv(s(t), s(t)) - conv(s(t - 1), s(t))

Schreibe f(t) = conv(s(t), s(t)) und benutze die Zeitinvarianz der Faltung, so dass:

f(t - 1) = conv(s(t - 1), s(t)) = conv(s(t), s(t - 1))

Man erhält somit:

g(t) = f(t) - f(t - 1)

Final gilt es also f(t) zu bestimmen. Es gilt mittels der Definition der Faltung:

f(t) = int[-inf, inf]{ s(t - x)*s(x) dx } = int[-inf, t]{ s(x) dx } = int[0, t]{ s(x) dx }

Und somit:

f(t) = 0 für t < 0

f(t) = t für t > 0

--> f(t) = t*s(t)

Entsprechend folgt durch Einsetzen:

g(t) = f(t) - f(t - 1) = t*s(t) - (t - 1)*s(t - 1)

Der Funktionsverlauf lässt sich nun einfach graphisch bestimmen und entspricht dem dargestellten Verlauf. Rechnerisch würde folgen:

g(t) = 0 für t < 0

g(t) = t für 0 < t < 1

g(t) = t - (t - 1) = 1 für t > 1

Abschließend noch eine alternative Bestimmung der Sprungantwort. Es gilt:

h(t) = rect(t - 0.5) = conv(rect(t), delta(t - 0.5))

s(t) = sum(k, 0, inf){ rect(t - 0.5 - k) } [Summe verschobener Rechtecke]

--> g(t) = conv(h(t), s(t)) = sum(k, 0, inf){ conv(rect(t - 0.5 - k), rect(t - 0.5)) }

Mit conv(rect(t), rect(t)) = tri(t), der Dreiecksfunktion mit Länge 2, Höhe 1 und Zentrum bei t = 0, folgt dann

--> g(t) = sum(k, 0, inf){ conv(tri(t - 1), delta(t - k)) }

Aufzeichnen und Addieren liefert dann das selbe Ergebnis ... .

Comments

[OSaft111]

Vielen Dank ich verstehe nicht ganz was du mit: Benutzte die Linearität der Faltung, so dass

g(t) = conv(s(t) - s(t - 1), s(t)) = conv(s(t), s(t)) - conv(s(t - 1), s(t)) meinst ?

[OSaft111]

@OSaft111

Außerdem verstehe ich nicht was du mit: Final gilt es also f(t) zu bestimmen. Es gilt mittels der Definition der Faltung:

f(t) = int[-inf, inf]{ s(t - x)*s(x) dx } = int[-inf, t]{ s(x) dx } = int[0, t]{ s(x) dx } meinst ? Also welche Definition ? Ich bin neu in dem Thema daher die vielen Fragen.. Vielen Dank

Answer 2

[Hugoyares]

Skizziere die Impulsantwort. Es ist ein Rechteckfunktion

r(t)=1 für 0<t<1, sonst r(t)=0.

Sprungantwort ist das Integral von Impulsantwort. Integration einer Konstanten der Höhe 1 im Intervall (0,1) ergibt eine Gerade der Steigung 1 im Intervall (0,1).