Sind unendlich mal 2 mehr als unendlich mal 1?
Hallo Freunde der Nacht. Ich philosophiere gerade ein wenig über die Unendlichkeit und mir gehen da so einige Fragen durch den Kopf. Angenommen ich würde ein Bandmaß, das 2m lang ist unendlich mal aneinander reihen und dasselbe mit einem 1m langen Bandmaß tun, wäre dann die Strecke aus unendlich mal 2m theoretisch länger als die aus unendlich mal 1m? Oder sind beispielsweise unendlich Kilogramm schwerer als unendlich Gramm?
10 Antworten
Beim Rechnen mit Unendlichkeiten gibt es einiges, was paradox erscheint oder zumindest unserer Intuition widerspricht.
Vorab: Für den Mathematiker gibt es kein größeres oder kleineres Unendlich, sondern nur verschieden mächtige Unendlichkeiten und Grenzwerte.
Jetzt aber zu deiner Frage: 2m × ∞ ist gleich lang wie 1m × ∞ und ∞g wiegt gleich viel wie ∞ kg.
Klingt komisch, daher nehme ich mal ein anderes Beispiel: Hilberts Hotel (nach dem gleichnamigen Mathematiker). Dieses Hotel ist so besonders, weil es abzählbar unendlich viele Zimmer hat und die Zimmernummern der Menge der natürlichen Zahlen N = {1; 2; 3; ...} entsprechen.
Das Hotel ist mit unendlich vielen Gästen voll belegt - da klingelt es an der Rezeption und ein neuer Gast möchte ein Zimmer. Geht das, obwohl das Hotel eigentlich voll ist?
Interessante Antwort: Ja, das geht!
Der Gast aus Zimmer 1 zieht in Zimmer 2, der aus Zimmer 2 in Zimmer 3 usw. Damit ist Zimmer 1 für den neuen Gast frei, und da das Hotel unendlich viele Zimmer hat, findet jeder Gast ein neues Zimmer, ohne daß Hilbert anbauen muss. Also:
∞ + 1 = ∞
Machen wir es schwieriger: Da kommt ein Bus mit abzählbar unendlich vielen neuen Gästen. Auch die finden Platz! Diesmal zieht der Gast von Zimmer 1 in Zimmer 2, der von Zimmer 2 nach Zimmer 4 , von 3 nach 6, 4 nach 8 usw. Also immer in das Zimmer mit der doppelten Zimmernummer.
Damit sind unendlich viele Zimmer mit gerader Nummer belegt und unendlich viele Zimmer mit ungerader Nummer sind für die neuen Gäste frei. Also:
∞ + ∞ = ∞
Und im letzten Schritt fahren plötzlich abzählbar unendlich viele Busse mit jeweils abzählbar unendlich vielen neuen Gästen vor - und die bekommen auch alle Zimmer! Wie beim letzten Mal werden alle ungeraden Zimmer geräumt und dann Potenzen von Primzahlen verwendet (d.h. die Passagiere aus dem 1. Bus bekommen die Zimmer 3^1=3; 3^2=9; 3^3=27; ...; die aus dem 2. Bus die Zimmer 5^1=5; 5^2=25; 5^3=125;...; die aus dem 3. Bus Zimmer 7^1=7; 7^2=49; 7^3=343 usw.)
Also:
∞ + ∞ × ∞ = ∞
Und jetzt sollte eigentlich klar sein, daß man mit Unendlichkeiten eben nicht wie mit normalen Zahlen rechnen kann.
Verschieden mächtige Mengen sind unterschiedlich groß. Außerdem gelang es erstmals ROBINSON, mit der Nichtstandard-AnaIysis eine konsistente Theorie mit unterschiedlich großen Unendlichkeiten zu formulieren.
Wenn man mit dem Limes arbeitet und beispielsweise das hier hat
Lim x³/x²
x - -> unendlich
Dann könnte man ja annehmen, dass 1 rauskommt, weil unendlich² und unendlich³ sich mich viel nehmen (ist ja beides unendlich), aber erstaunlicher weise sagt man, dass die Variabel mit dem größten Exponenten überwiegt!
Heist unendlich³>unendlich²
Es würde also unendlich rauskommen und nicht 1
Man kann es sich auch so vorstellen
Stell dir mal vor du hast unendlich viel Geld, aber pro Jahr wird dir nur 5€ überwiesen (aber halt unendlich lang)
Und jetzt stell dir vor dir wird jährlich 1 Mrd. € überwiesen (unendlich lang)
Wer von beiden ist wohl reicher?
Beide gleich, der zweite wird nur schneller reicher.
Ebenso wie x^3 eben schneller wächst als x^2, deswegen ist der Grenzwert unendlich.
bist du jetzt weiter gekommen bis du an die unendlich gezählt hast mit deinem 2m band oder mit deinem 1m band? :D
das ist genauso relativ wie jede andere formel in der mathematik ;)
unendlich steht nur für eine sehr große zahl also kommt drauf an wie weit du zählen kannst bis DEIN unendlich erreicht ist ;)
wenn man davon ausgeht dass du es nacheinander hinlegst bis du dein unendlich erreicht hast und somit den doppelten weg gelaufen bist dann ist dein 2m * unendlich größer als dein 1m * unendlich WENN du gleichweit bis unendlich gezählt hast :D
unendlich geteilt durch unendlich ist auch nicht gleich 1
viel spass beim philosophieren xD
LG dr
Ich kann dir fast bis ganz zum Schluss folgen, aber wieso sollte unendlich geteilt durch unendlich nicht 1 ergeben "dürfen" wenn 1 mal unendlich gleich unendlich ist? ;P
ja hatte das ganze ja auch alles berechnet ;) philosophieren darf man ja wohl und was anderes habe ich auch nicht gemacht ;)
unendlich / unendlich bietet keine lösung!
unendlich steht nur für eine sehr große zahl also kommt drauf an wie weit du zählen kannst bis DEIN unendlich erreicht ist
Wie kommst du darauf? Und es ist gefährlich, seine eigenen Definitionen aufzustellen. Sonst fängt er auch noch an, sein eigenes 1 und 2 zu definieren.
unendlich steht nur für eine sehr große zahl
Falsch!
Unendlich ist eben keine Zahl! Es ist mehr eine Idee, das etwas niemals endet (und doch beendet werden kann).
Deswegen kann man auch nicht mit "unendlich" rechnen (mit einem limes hingegen schon), rechnen kann man nur mit zahlen.
Auch ist die Idee, das jeder sein eigenes Unendlich hat Blödsinn.
Wenn es nicht für alle gilt, und jeder weiß was damit gemeint ist, dann kann man es auch gleich sein lassen.
zu euren kommentaren liebe leute ich habe wie in vielen mathematik aufgaben bedingungen gestellt und somit ist meine aussage nicht falsch.
zwar ist 1mal unendlich und 2 mal unendlich rechnersisch nicht lösbar aber wenn man es jetzt mit dem limes beschreibt ist der grenzwert seine fähigkeit wie weit er zählen kann.
wenn ihr euch also nur auf so aussagen die selbst KEINE AUSSAGE haben beruft dann solltet ihr lieber still sein wenn ihr keine ahnung davon habt und meine einfachen bedingungen nicht akzeptieren wollt.
und unendlich GETEILT durch unendlich ist nicht gleich 1 weil eines deiner unendlich zeichen größer als das andere sein könnte nur habt ihr derartige mathematik wohl noch nie gehabt - es gibt sogar besondere formen von UNENDLICH kann man alles nachlesen und darum finde ich es gut darüber zu philosophieren wie der fragesteller!
Meine Frau liebt mich unendlich viel. Nach der geburt unseres Kindes wird sie dieses dann auch unendlich viel lieben. Demnach wird sie mich nicht halb so viel lieben sondern immer noch unendlich viel. Cool!
Was ist schwerer; ein Kg Eisen oder ein Kg Federn?
Genau. Selbiges mit der Unendlichkeit. Völlig egal, womit Du sie darzustellen beabsichtigst.
Ich behaupte mal ganz vorsichtig, dass der Physiker das in etwa so beantworten würde:
Das Kilogramm Eisen wiegt schwerer, da sein Schwerpunkt näher am Gravitationskern liegt. ("aufgrund der höheren Dichte")
Also auf der Waage haben beide das gleiche Gewicht, das Eisen "wiegt in Realität aber schwerer". LG ;P
Sehr interessant, worüber du da philosophiert. ;D
Eine kleine "Gegenfrage":
Betrachten wir die Zahlenmenge der Natürlichen zahlen (1, 2, 3, 4 ...)
Gibt es nun halbsoviele Gerade Zahlen wie Zahlen überhaupt? ^^
Logisch gäbe es nur halbsoviele gerade Zahlen, aber mathematisch gesehen gibt es von "beiden Mengen gleichviele", denn es gibt "immer unendlich viele Zahlen"...
LG und viel Spaß beim "weiterphilosophieren". :P
Wenn man mit dem Limes arbeitet und einen Ausdruck wie "x/x" hat, dann ist unendlich/unendlich sehr wohl 1