Sind Spartaner und Spartiaten dieselben?

Nein! Die Spartaner waren die Bewohner Lakoniens, also die Lakedämonier. Dazu zählten die Spartiaten, die Periöken und die Heloten. Allein die Spartiaten waren Vollbürger des spartanischen Stadtstaates, sie allein hatten die politischen Rechte, z.B das Wahlrecht in der Gerusia, der spartanischen Volksversammlung.

Die Periöken waren zwar persönlich frei, konnten Handel treiben und sonstige Berufe ausüber, aber sie hatten keine politischen Rechte.

Die Heloten waren unfrei, eine Art Sklaven.

Ja, das sind Bürger Spartas.

Spartaner und Spartiat sind nur unterschiedliche Schreibweisen davon.