Sind die Nullstellen einer Quadratischen Funktion gleich die Lösungsmenge?

Hallo,

ich lerne gerade für die Mathe-Arbeit zum Thema Quadratische Funktionen (bin Klasse 9) und verstehe bis jetzt alles, jedoch bin ich auf ein Problem gestoßen. Ich hab es so verstanden, dass man um Nullstellen auszurechnen y=0 haben muss. Bei der Gleichung x² +8x=20 ist y=20. Wenn ich die Lösungsmenge ausrechne mithilfe der Quadratischen Ergänzung komme ich auf L:(2;-10). Wenn ich mit |-20 die 20 auf die andere Seite bringe ist y=0. Mithilfe der pq-Formel habe ich dann die Nullstellen ausgerechnet und kam auf das gleiche wie bei der Lösungsmenge.
Wieso ist das so? Ist beides das gleiche?

Bei der Gleichung x² +6x+9=49 ist das genauso. Ich wäre euch sehr dankbar wenn ihr mir das erklären könntet.

Answer 1

[evtldocha]

Natürlich ist das das Gleiche. Du machst ja nur Äquivalenzumformungen und die pq-Formel bzw. die abc- (oder Mitternachts-)formel werden mit Hilfe der quadratischen Ergänzung ganz einfach hergeleitet: Hier die pq-Formel

$x^2+p⋅x+q=0\ \ \ \ \ \ \ \ |-q$ $x^2+px\ =\ -q\$

Jetzt links quadratisch ergänzen (was heißt effektiv "0" zu addieren, weshalb das eine Äquivalenzumformung ist): $x^2+p\cdot x\ +\left(\frac{p}{2}\right)^{^2}-\left(\frac{p}{2}\right)^{^2}=-q\ \ \ \ \ \ \ \ \ |\ +\left(\frac{p}{2}\right)^{2\ }$ $\left(x+\frac{p}{2}\right)^2=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q\ \ \ \ \ \ \ |\ \sqrt{ }$ $x+\frac{p}{2}=\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$ $x_{1/2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$

Comments

[Kokosnuss786]

Erstmal danke für die Antwort.

Also gibt es keine Quadratische Funktion/Gleichung wo die Lösungsmenge nicht gleich die Nullstelle/n ist? Nullstellen sind doch immer da, wo y=0 ist. Aber was ist, wenn y nicht gleich 0 ist?

[evtldocha]

@Kokosnuss786

Was heißt denn Lösungsmenge? Da muss eine Frage dahinter stehen. Also z.B "Was ist die Lösungsmenge für 'f(x) = irgendwas'?" Und aus dem wird immer durch eine (oder mehrere Äquivalenzumformungen) so etwas wie

f(x) - irgendwas = 0. Jetzt nenne ich eine neue Funktion einfach "g(x) = f(x) - irgendwas" und habe g(x) = 0.

Also läuft es am Ende immer auf eine Nullstellensuche raus.

[evtldocha]

@evtldocha

Anders: Die gefunden oder zu suchenden Nullstellen sind nicht immer die von f(x), sondern sind dann - je nach Frage wofür eine Lösungsmenge gesucht wird - die von g(x) aus obigen Beispiel.

Answer 2

[Wechselfreund]

Die Lösungsmenge besteht aus den Zahlen, die eine geforderte Bedingung erfüllen. Die kann sein, dass f(x)=y = 0 ist, aber auch ein anderer Wert von f(x) für y.