sekanten und tangentensteigung
ich versteh nicht ganz was der unterschied der sekanten und tangentengleichung ist. bei der sekanten steigung rechnet man doch : f(a+h)-f(a) / h und es nennt sich der diffenzenquotienten. bei der tangentengleichung rechnet man doch : f(a+h)-f(a)/h und es nennt sich differenzialquotienten und man schreibt dazu noch limes h-->0 die tangente geht durch einen punkt die sekante durch 2 punkte aber es ist doch die selbe gleichung um zu einem ergebnis zu kommen.. oder berechnet man die sekantensteigung so : delta y/ delta x = f(b)-f(a) / b-a ... ? ich bin verwirrt.
4 Antworten
doch die selbe gleichung um zu einem ergebnis zu kommen
Es ist nicht dieselbe Gleichung.
- Sekante (Differenzenquotient): f(a+h)-f(a) / h (für ein bestimmtes h)
- Tangente (Differantialquotient): lim (h->unendlich) f(a+h)-f(a) / h
delta y/ delta x = f(b)-f(a) / b-a ... ? ich bin verwirrt.
Geht auch. Und auch hier wäre
lim (b->a) (f(b)-f(a)) / (b-a)
die Steigung der Tangent an der Stelle a.
alles richtig, was du schreibst; man sagt: der Grenzwert des Differenzenquotienten ist der Differentialquotient; und bei der Sekantensteigung hast du 2 Punkte ; also nimmst du die Formel , die bei dir am Schluss steht.
tangentensteigung bedeutet die steigung die die gerade in einem punkt hat , dazu braucht man den limes
Lass dich nicht verwirren. Beides ist nämlich das Selbe; es ist nur
h = b - a ( 1 )
Das heißt übrigens DIFFERENZENquotient ( DQ ) ( Sehnensteigung ) was ein " Differenzialquotient " ist, lass ich erst mal weg. Das würde dich bloß zu sehr verwirren.
Mausi; hast du echt noch nie ===> interpoliert? Ach so; heut braucht's ja keine Tabellenwerke mehr wie etwa ===> Logaritmentafeln; wir konnten das noch
" Jaja; die Jugend von Heute ... "
Da gibt es übrigens eine Alternative. Ich jeden Falls finde sie voll schick; Mangoldt lässt sich leiten von der Beobachtung, dass die Studenten von dem DQ immer so verworren sind.
" Durch h = 0 darf man doch nicht dividieren; also was wird denn nun aus dem DQ für h = 0 ? "
Er begründet die Ableitung ohne eine einzige Division.
f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + h [ f ' ( x0 ) + R ( x0 ; h ) ] ( 2 )
In Worten. Wir wollen die Funktion in ( x0 + h ) ausdrücken durch ihren Wert in x0 . also den ersten Term f ( x0 ) verstehst du.
Und jetzt wird gesagt, es kommt etwas dazu, das geht linear oder proportional mit h . Bloß der Faktor, wie steil dass es ansteigt, das ist gerade diese eckige Klammer. Was steht da drin?
Der erste Term in der Klammer ist f ' ( x0 ) und hängt NUR von x0 ab und nicht von dem Inkrement h . Dieses f ' definiere ich als " Ableitung " in x0 . Die Ableitung alleine würde also bewirken, dass die Funktion um h f ' wächst - voll linear wie eine Gerade auch.
Wenn aber die Kurve krumm verläuft, dann heißt das doch nichts, als dass diese eckige Klammer in Abhängigkeit von h " dynamisch " angepasst werden muss. Das leistet das Restglied R , welches i.A. so wohl von x0 als auch von h abhängt.
Die eckige Klammer alles zusammen ist die Sehnensteigung; aaber. Wenn ich doch R anpassen darf, wie ich will. Dann ist doch der ganze Aparillo nix weiter als die Definition von R , und damit ist niemandem gedient. Was wir brauchen, ist eine zusätzliche definierende -forderung an dieses Restglied R . Und genau hier kommt bei Mangoldt der Limes ins Spiel:
lim h ===> 0 R ( x0 ; h ) = 0 ( 3 )
Wie ist ( 3 ) zu verstehen? Wenn h = 0 , kannst du über R sowieso nichts aussagen. Du kannst die gleichung ja nicht nach R auflösen eben WEIL die division durch Null verboten ist.
Aber Mangoldt sagt, im Limes soll das Restglied vernachlässigbar klein sein; die Sehnensteigung ( ganze eckige Klammer ) geht gegen die Tangentensteigung f '
Hier muss es h -> 0 heißen ... man will ja die betrachtete Stelle a+h auf die Stelle a zulaufen lassen, indem man h immer weiter verkleinert, um schließlich im Grenzübergang lim h -> 0 die Steigung an der Stelle a zu erhalten.