Schreibe als potenz?

Wie funktioniert Aufgabe III)? Wir sollen als Potenz schrieben und so weit wie möglich im Kopf kürzen

Answer 1

[mihisu]

Bedenke dabei insbesondere die folgenden Rechenregel:

$\frac{1}{x}=x^{-1}\quad \text{bzw.}\quad \frac{1}{x^{n}}=x^{-n}$

$\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$

$\left(x^{m}\right)^{n}=x^{m\cdot n}$

Im konkreten Fall erhält man dann:

$\left(\sqrt[4]{\frac{1}{x}}\right)^{-3}$

$=\left(\sqrt[4]{x^{-1}}\right)^{-3}$

$=\left(\left(x^{-1}\right)^{\frac{1}{4}}\right)^{-3}$

$=\left(x^{-1\cdot\frac{1}{4}}\right)^{-3}$

$=\left(x^{-\frac{1}{4}}\right)^{-3}$

$=x^{-\frac{1}{4}\cdot\left(-3\right)}$

$=x^{\frac{3}{4}}$

Im Grunde im Kopf auch so: Bei 1/x erhält man x^(-1) und damit den Exponenten -1. Bei der 4-ten Wurzel erhält man den Exponenten 1/4. Und dann hat man noch den Exponenten -3. Diese Potenzierungen kann man dann zu einer Potenz zusammenfassen, indem man die Exponenten -1, 1/4, -3 miteinander multipliziert, was dann 3/4 ergibt.

Answer 2

[DopaminHarp]

Hinweise:
Alle Werte, die im Bruch unten/im Nenner/Divisor stehen, kannst du auch mit negativem Exponenten Oben hin/in den Zähler schreiben. Sprich:

$\frac{1}{2^2}=1\cdot2^{-2}\ oder\ \frac{1}{x}=x^{-1}$

Eine Wurzel ist nichts anderes als ein Bruch im Exponenten. Wurzel zwei ist also hoch 1/2. Sprich:

$\sqrt[2]{4}=4^{\frac{1}{2}}=2\ oder\ \sqrt[x]{y}=y^{\frac{1}{x}}$

Wenn du eine Zahl mit Potenz potenzierst, kannst du die Potenzen multiplikativ zusammenfassen. Sprich:
$\sqrt[y]{\frac{1}{x}}=\sqrt[y]{x^{-1}}=x^{-1\cdot\frac{1}{y}}=x^{-\frac{1}{y}}\ oder\ \sqrt[2]{\frac{1}{4}}=\sqrt[2]{4^{-1}}=4^{-\frac{1}{2}}=0,5$

Die Lösung der 3 ist demnach:
$x^{^{\frac{3}{4}}}$

Answer 3

[evtldocha]

Von innen nach außen:

$\left(\sqrt[4]{\frac{1}{x}}\right)^{-3}=\left(\sqrt[4]{x^{-1}}\right)^{-3}=\left(\left(x^{-1}\right)^{\frac{1}{4}}\right)^{^{-3}}=\left(x^{-\frac{1}{4}}\right)^{^{-3}}=x^{\frac{3}{4}}$