Satz vom Nullpunkt?
Ich versuche gerade Eine zu lösen, was aber nicht so gut klappt.
x²-4x+3 = 0 Einfach wäre es, wenn die drei nicht da wäre. Ich gabe mir schon im Internet Videos angeschaut und alle machen die ABC Formel oder pq. Nur hatte ich diese 2 noch nicht im Unterricht. Wisst ihr vielleicht wie man es noch berechnen könnte?
5 Antworten
Gute Kandidaten sind immer die Faktoren des "absoluten Gliedes", d. h. des Summanden ohne "x", hier die 3. Hierbei beide Vorzeichen berücksichtigen!
In diesem Fall also -3, -1, 1, 3.
Durch Einsetzen ergibt sich, dass 1 und 3 tatsächlich Lösungen sind. Da es für quadratische Gleichungen nie mehr als 2 Lösungen gibt, haben wir damit schon alle Lösungen gefunden.
Zum Durchprobieren der Faktoren:
- Das funktioniert auch, wenn da x³ oder noch höhere Potenzen stehen.
- Wenn der "Koeffizient" (Vorfaktor) der höchsten Potenz 1 und alle anderen Koeffizienten ganzzahlig sind, sind alle ganzzahligen (und sogar rationalen) Lösungen Teiler des absoluten Gliedes.
- Aufgaben für die Schule sind sehr oft so konstruiert, dass die Lösungen ganzzahlig sind.
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Wenn dieses Verfahren nicht weiter bringt, kann man immer auch die "quadratische Ergänzung" verwenden - das ist eine Anwendung der 1. und 2. binomischen Formel. Die pq--Formel ist nichts anderes als die quadratische Ergänzung angewendet auf den allgemeinen Fall (mit 1 als Koeffizient von x²).
In diesem Fall haben wir den Term
x² - 4 x + 3
Da vor dem Summanden mit x (=x^1) ein "-" steht, nehmen wir die 2. binomische Formel mit a = x und b = y:
(x-y)² = x² - 2 x y + y²
Das x² haben wir in unserem Ausgangsterm schon drin, das -4 x müssen wir noch umformen und um die 3 und das y² kümmern wir uns später. Ziel ist jedenfalls:
x² - 4 x + z = x² - 2 x y + y²
x² stimmt schon mal auf beiden Seiten überein.
-4 x = -2 x y können wir nach y auflösen, das ergibt y = 2
Mit Einsetzen hiervon ergibt sich z = y²
Auf beiden Seiten der Gleichung
x² - 4 x + z = x² - 2 x y + y²
ziehen wir z ab, setzen y und z ein und berücksichtigen wieder die binomische Formel:
x² - 4 x = (x-2)² -4
(Damit sind wir mit dem schwierigsten Teil, der eigentlichen quadratischen Ergänzung, fertig.)
Diesen Ausdruck für x² - 4 x können wir in die Ausgangsgleichung
x² - 4 x + 3 = 0
einsetzen:
( (x-2)² - 4 ) + 3 = 0
Ab hier solltest du selber weiterkommen. Wenn nicht, frag noch mal zurück.
Die ABC Formel IST die pq Formel :D
In der Pq Formel musst du für P = -4 einsetzten und für q = 3. Wenn die 3 nicht da wäre, wäre q = 0
http://www.frustfrei-lernen.de/images/mathematik/pq-formel.jpg
Der Unterschied zwischen pq-Formel und ABC-Formel ist, dass die pq-Formel der Spezialfall der ABC-Formel für A = 1 ist.
Hallo,
entweder pq-Formel (narrensicher) oder Faktorenzerlegung in einfachen Fällen wie diesem.
Zerlege die Zahl ohne x so in Faktoren, daß deren Summe die Zahl mit x ergibt.
3=1*3, 1+3=4 - paßt nicht.
3=(-1)*(-3), -1-3=-4 - Bingo!
(x-1)*(x-3)=0
Die Gleichung stimmt, wenn eine der beiden Klammern Null ergibt, also für x=1 oder für x=3.
Beide Lösungen ergeben für die Gleichung x²-4x+3=0 ein wahres Ergebnis.
Herzliche Grüße,
Willy
Faktorzerlegung:
x^2 - 4 x + 3 = ( x - ...... ) * (x - ...... )
Suche die passenden Zahlen für die Lücken: bisschen probieren !
Dann kannst du die neue Gleichung
( x - ...... ) * (x - ...... ) = 0
sehr leicht lösen, denn ein Produkt kann bekanntlich nur den Wert Null ergeben, wenn einer der beiden Faktoren selber schon gleich 0 ist.
(x-3) (x-1)