Satz des Pythagoras?
Hallo,
ich habe Fragen zum Satz des Pythagoras:
1.Wenn der Winkel gamma stumpfwinkling ist, warum ist dann a^+b^< c^ ?
2.Wenn der Winkel gamma spitzwinklig ist, warum ist dann a^+b^> c^ ?
Mit freundlichen Grüßen
Hier ist was ich meine @Wechselfreund
2 Antworten
Stell dir zuerst ein rechtwinkliges Dreieck vor mit c² = a² + b². Jetzt lass gamma mal kleiner bzw. größer werden, und achte drauf was mit c passiert.
a und b sollen doch wohl gleich bleiben. Und hier werden die Quadrate der Seitenlängen betrachtet, wenn ich das richtig verstehe. Damit ist die Summe a²+b² fest und genau c² für rechten Winkel, kleiner für spitzen und größer für stumpfen Winkel gamma.
Wenn ich aber den Winkel größer mache als 90 grad, dann wird doch auch die Kathete, die anliegt auch länger. A und b bleiben also nicht gleich.
Die (ehemals) Katheten sollen doch gleich bleiben. Stell dir einen Zirkel vor, den du weiter aufklappst oder enger drückst. Die Schenkel bleiben gleich lang, nur der Abstand der Spitzen verändert sich.
Bei der Betrachtung sollen a und b jeweils gleich bleiben. Nur der Winkel gamma (ehemals 90°) verändert sich. B wandert auf einem Kreisbogen mit Radius a.
c² = a² + b² - 2·a*b*cos(γ)
Daraus folgt:
c² <= a² + b²
wenn cos(γ) >= 0 (dann wird etwas von (a² + b²) subtrahiert)
das gilt für alle Winkel von 0° bis 90° (spitzwinklig)
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c² >= a² + b²
wenn cos(γ) <= 0 (dann wird etwas auf (a² + b²) addiert)
das gilt für alle Winkel von 90° bis 180° (stumpfwinklig)
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Falls cos(γ) unbekannt ist, kann man sich das auch konstruktiv herleiten. Betrachte ein rechtwinkeliges Dreieck :
- verringert man den rechten Winkel (in Richtung spitzwinklig), und belässt die Länge der Seiten a und b, wird die gegenüberliegende Seite c kürzer.
- vergrössert man den rechten Winkel (in Richtung stumpfwinklig) und belässt die Länge der Seiten a und b, wird die gegenüberliegende Seite c länger.
Ich verstehe das alles , aber warum ist das so?
Warum aber wird dann c größer als die anderen Seiten? Ich dachte das die Seite c immer nur beim rechtwinkligen Dreieck die größte Seite ist. Und was passiert mit den seiten a und b und warum?