Riemann Integral? Unterschied zu Integralrechnung?
Hallo ich bin gerade etwas verwirrt, was genau zeichnet eurer Meinung nach das Riemann Integral aus? Wo liegen die Unterschiede zur normalen Integralrechnung?
3 Antworten
Es gibt keine "normale" Integralrechnung. Die Integrale, die man in der Schule kennen lernt und in den meisten Anwendungen sin Riemann - Integrale, man nennt sie nur nicht so, weil die meisten, wenn überhaupt, nur diese Integrale kennen. Es gibt z.B. auch das Lebesgue-Integral, aber außer wirklichen Mathematiker fällt mir gerade nieman ein der das bräuchte...
Hallo.
Die "übliche" Integralrechnung, die man aus der Schule kennt, erfolgt gerade mithilfe des Riemannschen Integrals.
was ist ein allgemeines Integral? Es gibt unterschiedliche Herangehensweisen, das Integral einer Funktion zu definieren. Eine davon wäre zb der Lebesguesche Integralansatz. Dieser stellt insofern eine Verallgemeinerung des Riemannschen Integrals dar, dass damit weit mehr Funktionen integrieren lassen, als bloß mit dem Riemannschen Integralbegriff. Das bekannteste Beispiel stellt die Dirichlet-Funktion dar, die nicht Riemann-, aber Lebesque-integrierbar ist. Zusammenfassend zu deiner Frage lässt sich sagen, dass das Riemannsche Integral genau dort aufhört, wo es nutzlos wird, das heißt, wo eine Funktion nach diesem nicht mehr integrierbar sein wird.
Ergänzend ist noch zu sagen, dass die Integralrechnung auf Newton (1643-1727) und Leibnitz (1646-1716) zurückgeht und auch die Integralsätze bereits bekannt waren, während Riemann im 19-ten Jahrhundert lebte. Riemann hat jedoch eine allgemeinere und exaktere Begründung geliefert, die auf der axiomatischen Begründung der reellen Zahlen aufbaut. Die normale Integralrechnung, wie sie z.B. in der Physik angewandt wird, kommt auch ohne diese strenge Begründung aus. Der Lebesgue'sche Integralbegriff ist nocheinmal deutlich allgemeiner und hat zum Beispiel Anwendungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie.
Soweit so gut, mein Problem ist dass ich nicht ganz verstehe wo Riemannsches Integral aufhört und allgemeines anfängt :(