Riemann-Integral: Monotonie und Linearität?
Hey,
kann mir jemand, wie man die Monotonie und Linearität des Riemann-Integrals beweist? Also warum gilt
Freue mich über Antworten :)
1 Antwort
Das wird alles ausfühlich hier bewiesen:
https://de.m.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Eigenschaften_des_Riemannintegrals
In Kurz:
Das Riemann Integral wird ja als Grenzwert der Ober und Untersummen definiert.
Es reicht aus zu zeigen, dass die Eigenschaft für jede Ober und Untersumme einer beliebigen Intervallzerlegung gilt. Und da es Summen sind, ist es dort ganz einfach zu zeigen. Wegen den Eigenschaften von Grenzwerten folgt es dann auch für das Riemann Integral.
Achso...
Summe über x_(k+1)–x_k von k=0 bis n-1 * sup(x\in{x_k, x_(k+1)}) f(x)
Heißt also, dass immer die Differenz von x_(k+1) und x_k mit dem f(x) multipliziert wird, wobei dieses x dann das größere von x_(k+1) und x_k ist?
Und wofür betrachtet man die summe der Differenzen? Kann man dann nicht direkt die Differenz des Supremum und Infimum nhemen und mit f(sup) multiplizieren? Also was erreicht man mit dieser Summe an Balken, wenn alle die selbe Höhe haben?
Ah ne... alles gut... hatte gerade einen Denkfehler. Das Argument von dem Funktionswert, der sozusagen die Höhe des Balkens bestimmt, kann also auch in diesem Intervall liegen?
Wenn wir also (–2, 2) mit f(x)=–x² betrachten, wäre dieser Balken - wenn man es so sagen darf - (–2–2)*f(0)=0?
Oder anderes Beispiel:
Wir betrachten das Intervall (0, 6) mit f(x)=(x–5)³–x+5, dann wäre diesee Balken (6–0)*f(~4.4)?
Das Argument von dem Funktionswert, der sozusagen die Höhe des Balkens bestimmt, kann also auch in diesem Intervall liegen?
Du suchst nicht das Maximum sondern das Supremum. Es muss also nicht unbedingt ein ein dazugehöriges Argument geben.
Wenn wir also (–2, 2) mit f(x)=–x² betrachten, wäre dieser Balken - wenn man es so sagen darf - (–2–2)*f(0)=0?
Korrekt.
Danke für die Antwort! :)
Kannst du mir vielleicht noch erklären, was - wenn du auf deinen Link gehst und bei Herleitung unten bei Monotonie oder woanders schaust - das Sumpremum von f bzw. g dort bedueten soll, also was es für eine Rolle spielt. Ich verstehe nicht, was das Supremum bzw. Infimum damit zu tun hat und mit welcher Operation es damit verknüpft ist. Wäre sehr dankbar.