Rekursionsformel bestimmen?
Folgende Aufgabe:
Bestimmen Sie die Rekursionsformel für die folgende Zahlenfolge a_n:
a_n = 0; 4; 18; 48; 100; 180; ... mit n = 1, 2, 3, 4, ...
Wie geht man hier am besten vor?
Hinweis: Bei a_n ist n KEINE Potenz!!
Auf eine Antwort wäre ich sehr dankbar.
5 Antworten
Hallo Denn0,
die richtige Formel hat Willy1729 ja schon geliefert.
Wie kommt man auf so was? Bei Zahlenreihen bilde ich mir immer erst mal die Differenzen und dann wieder davon die Dirrenzen usw. Beim gegebenen Beispiel sieht das so aus:
0 4 18 48 100 180
4 14 30 52 80
10 16 22 28
6 6 6
Man sieht, nach der 3. Differenzierung bleiben die Differenzen gleich. Daraus schließe ich das die gesuchte Zahlenreihe etwas mit der 3. Potenz der Zahl zu tun hat.
Die 3. Potenzen der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...bilden die Reihe
1 8 27 64 125 216 ....
Wenn ich im Vergleich nun die obere (gegebene) Zahlenreihe anschaue, dann sehe ich, dass ich von den unteren Zahlen etwas abziehen muss, um auf die oberen Zahlen zu kommen, nämlich
1 4 9 16 25 36
Das sind aber nichts anderes als die 2. Potenzen, also die Quadrate der Grundzahlen, somit weiß ich nun, dass die gesuchte Zahlenreihe heißt:
(1³-1²) (2³-2²) (3³-3²) (4³-4²) (5³-5²) (6³-6²) ...., allgemein (n³-n²) = n²(n-1)
Für die Rekursionsformel vergleiche ich
a(n) = n²(n-1) = n³-n² mit a(n+1) = (n+1)²(n+1-1) = n³+2n² +n
und sehe, dass ich zu n³-n² den Ausdruck 3n²+n dazu zählen muss, um n³+2n² +n zu erhalten. Damit erhält man die von Willy1729 angegebne Formel
a(n+1) = a(n) + n(3n+1).
Es grüßt HEWKLDOe
§1: jede Folge ohne Randbedingungen kann durch unendlich viele mathematische Algorithmen
nachgebildet werden. "a_n ist n KEINE Potenz" ?
Vermutlich war gemeint: a[n] hat nicht die Form a^n
Dann gibt's immer noch unendlich viele...
Unter http://www.gerdlamprecht.de/Mittelwerte.html
kann man eine Folge auf Polynom untersuchen & eingeben
y[i]: 0,4,18,48,100,180
x[i]: 1,2,3,4,5
ergibt unten die fertige explizite Funktion:
x*0-pow(x,2)*1+pow(x,3)*1+pow(x,4)*0+pow(x,5)*0
=x³-x²=x²*(x-1)=(x-1)*x*x
Bild 1
oder in anderer Schreibweise: a[n]=(n-1)*n*n
Aber Ihr hattet das vermutlich alles noch nicht und müsst für den Lehrer unbedingt die rekursive
Funktion angeben -> also die Differenzen kopieren
Diff= y[i]-y[i-1]: 4,14,30,52,80
und diese Zahlenfolge untersuchen -> also bei y[i] einfügen:
ergibt die einfache quadratische Funktion
x*1+pow(x,2)*3
=3*x²+x=x*(3*x+1)
beim Iterationsrechner http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm
schreibt man das so: aC[i+1]=aC[i]+i*(3*i+1);
oder in anderer Schreibweise
a[n+1]=a[n]+n*(3*n+1)
Wenn links unbedingt a[n] stehen soll, einfach Index-Verschiebung um 1:
a[n]=a[n-1]+(n-1)*(3*(n-1)+1)
a[n]=a[n-1]+(n-1)*(3*n-2)
a[n]=a[n-1]+n*(3*n-5)+2
wegen Zugriff auf einen Vorgänger bei Index 0 muss das logisch eingeschränkt werden (z.B. mit if ):
Init: aD[0]=0:
Rekursion: if(i>0) aD[i]=aD[i-1]+i*(3*i-5)+2;
Alle 3 Lösungen, die die selbe Zahlenfolge ergeben:
http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#(x-1)*x*x@Ni=0;@C0]=aD[0]=0;@N@Bi]=Fx(i);@Ci+1]=@Ci]+i*(3*i+1);if(i%3E0)%20aD[i]=aD[i-1]+i*(3*i-5)+2;@Ni%3E9@N0@N0@N#
(LINK endet erst mit N# )
hier im Bild 2
Wem noch andere gültige Algorithmen (egal ob explizit oder rekursiv) interessieren,
kann sich gern melden, denn es gibt unendlich viele.
(Trigonometrische Interpolation,...)
Das interessiert Schüler aber nicht...
Zugabe: Trigonometrische Interpolation ohne Potenz:
Init: i=0;aB[0]=aB[1]=0;
if(i>1) aB[i]=aB[i-1]+round(36-139448161/10471661*cos((i-2)*2*PI/5)-89911447/2969295*sin((i-2)*2*PI/5)-116228321/6220980*cos((i-2)*4*PI/5)-57902384/8100237*sin((i-2)*4*PI/5));
ergibt Folge
0, 4, 18, 48, 100, 180, 184,...
round bügelt nur Rundungsfehler weg
Hallo Denn0,
als kleinen Nachtrag zeige ich im folgenden noch Herleitung der Summenformel von Willy1729:
Die Summe von 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ ist (1/4)n^4 + (1/2)n³ + (1/4)n².
Die Summe von 1² + 2² + 3² + ... + n² ist (1/3)n³ + (1/2)n² + (1/6)n.
Zieht man die untere Summe der a² von der oberen Summe der a³ ab, so erhält man:
(1/4)n^4 + (1/6)n³ - (1/4)n² - (1/6)n
Das kann man noch umformen in: (n/12)(n+1)(n-1)(3n+2)
Es grüßt HEWKLDOe.
Wenn du dir die Zahlen a_n als x * n schreibst kommst du auf die Werte:
0n,2n,6n,12n,20n,30n...
Die Koeffizienten haben von einander die Differenzen 2,4,6,8,10... also die Zweierreihe. Mit etwas nachdenken kommt man darauf, dass die Koeffizienten n*(n-1) sind. Mit n multipliziert kommt man dann auf die Formel.
a_n= n*n*(n-1) = n^3-n^2
Dies ist jedoch keine Rekursionsformel. Jedoch denke ich, dass es die Lösung ist.
Hallo,
an=(n-1)*n²
Rekursionsformel:
a(n+1)=an+n*(3n+1)
Herzliche Grüße,
Willy