Radioaktives Zerfallsgesetz?
Ich verstehe nicht, wie man vom ersten aufs zweite kommt...
(Ich hatte noch keine Differentialgleichung, möchte es trotzdem ansatzweise verstehen.)
2 Antworten
Differentialgleichungen braucht man für diese Frage gar nicht. Elementare Differentialrechnung genügt.
Man weiß aufgrund von Beobachtung, dass der Zerfall exponentiell verläuft. Das drückt man so aus:
N(t) = e^(-λ*t)
Kurzer Einschub über Differentialrechnung:
Die Ableitung (d.h. die Steigung der Kurve) ermittelt man näherungsweise mit dem Differenzenquotienten, d.h. dem Seitenverhältnis des Steigungsdreiecks: (N(t+Δt) - N(t)) / Δt = ΔN/Δt
Denkt man sich das Dreieck "unendlich klein", so lässt man Δt "gegen Null gehen": Δt→0. Man schreibt dann dt statt Δt, und aus dem Seitenverhältnis des Steigungsdreiecks wird der Differentialquotient:
(N(t+dt) - N(t)) / dt oder kürzer: dN/dt oder: N'(t).
(Ende des Einschubs)
Nun zu Deiner Frage:
Mit den Grundregeln der Differentialrechnung (siehe z.B. hier) bekommt man aus dem obigen exponentiellen Ausdruck das heraus:
N'(t) = dN(t)/dt = -λ * e^(-λ*t), und daraus folgt N'(t) = -λ * N(t).
Wenn man dann beide Seiten mit dt malnimmt...
N'(t) * dt = -λ * N(t) * dt
...und dann die linke Seite wieder "rückwärts" rechnet, bekommt man
N(t+dt) - N(t) = -λ * N(t) * dt
Mich würde nun am Rande interessieren: In welchem Zusammenhang wurde das denn so geschrieben?
Man geht schlicht davon aus dass N(t) differenzierbar ist und ersetzt die Differenz durch das Differential. Das ist in der Naturwissenschaft ein übliches Vorgehen.