Quadrat Kreis kurze frage?
Beim Mathe test war eine kleine zusatz Aufgabe, die mich doch ins grübeln bringt:
Umfang u von Kreis und Quadrat ist 20cm.Welches hat den größeren Flächeninhalt?
Ich denke ja keines, beide gleich, weil es ja egal ist welche Form. Umfang und Flächeninhalt sind dann doch dir. proportional?!
Stimmt das?
Lg
5 Antworten
Nein, deine Überlegungen stimmen nicht.
Beispiel 1:
Ein Quadrat mit Umfang 20 cm hat eine Seitenlänge von
a = (20 cm)/4 = 5 cm.
Solch ein Quadrat hat dann einen Flächeninhalt von
A = a² = (5 cm)² = 25 cm².
Beispiel 2:
Ein Kreis mit Umfang 20 cm hat einen Radius von
r = (20 cm)/(2π) = 10 cm/π ≈ 3,183 cm.
Solch ein Kreis hat dann einen Flächeninhalt von
A = π ⋅ r² = π ⋅ (10 cm/π)² = 100 cm²/π ≈ 31,83 cm².
Beispiel 3:
Ein Rechteck mit Länge 4 cm und Breite 6 cm hat einen Umfang von 20 cm.
Solch ein Rechteck hat einen Flächeninhalt von
A = 4 cm ⋅ 6 cm = 24 cm².
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Offensichtlich hat man bei den drei Beispielen unterschiedliche Flächeninhalte, obwohl die Figuren den gleichen Umfang von 20 cm haben.
Vergleicht man Beispiel 1 und Beispiel 2, solltest du auch die Antwort auf die Aufgabe aus dem Mathe-Test erkennen... Der Kreis hat den größeren Flächeninhalt.
Übrigens: Bei vorgegebenem Umfang ist ein Kreis diejenige ebene Figur mit dem größten Flächeninhalt.
Von allen ebenen Flächen mit gleichem Flächeninhalt hat der Kreis den kleinsten Umfang.
LG H.
A (Quadrat) = s * s
= (20cm / 4) * (20cm / 4)
= 25 cm^2
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A (Kreis) = pi * r^2
u = 2 * pi * r
20cm = 2 * pi * r
r = 20cm / ( 2 * pi) = 3,18cm
-> A = pi * (3,18cm)^2
= 31,77cm^2
Kreis ist größer.
Das Quadrat hat einen Umfang von 20cm, woraus eine Seitenlänge von 5 cm resultiert.
5cm^2 = 25cm^2.
Um den Flächeninhalt des Kreises zu berechnen brauchen wir dem Umfang geteilt durch 2π.
=20/2π
=3,183
Mit dem Radius berechnen wir den Flächeninhalt mit π*r^2
=π*3,183^2
=31,83 cm^2.
Der Kreis hat den größeren Flächeninhalt
Kreis hat die größere Fläche