ein Quadrat und ein Kreis haben den gleich großen Flächeninhalt, welche Figur hat dann den größeren Umfang?
4 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Phleppse/1718225918527_nmmslarge__0_0_2412_2412_a8dee9137ff781cc84e424354e1146a2.png?v=1718225919000)
Um dein Rechenbeispiel einmal zu verallgemeinern, schauen wir uns einmal einen Kreis und ein Quadrat mit gleichen Flächeninhalten an:
Einsetzen der Gleichungen für den Flächeninhalte führt zu
Um die beiden Größen zu vereinheitlichen, müssen wir entweder r in Abhängigkeit von a, oder a in Abhängigkeit von r darstellen. Wir entscheiden uns hier für ersteres.
Wir erhalten:
Vergleichen wir nun die beiden Umfänge des Quadrates und des Kreises: Für ein Quadrat lautet der Umfang U=4a, für einen Kreis U=2*pi*r
Wir erhalten also:
und
Der Ausdruck sodass ein Quadrat bei gleichem Flächeninhalt stets den größeren Umfang hat.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Phleppse/1718225918527_nmmslarge__0_0_2412_2412_a8dee9137ff781cc84e424354e1146a2.png?v=1718225919000)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Der Kreis ist die geometrische Figur mit kleinstem Umfang bei gegebenem Flächeninhalt
https://de.wikipedia.org/wiki/Kreis#Isoperimetrisches_Problem
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Rubezahl2000/1444749506_nmmslarge.jpg?v=1444749506000)
Quadrat
Bei allen geometrischen Formen mit gleichem Flächeninhalt – hat immer der Kreis den geringstmöglichen Umfang.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/10_nmmslarge.png?v=1551279448000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/fynnwagner/1642513113435_nmmslarge__16_112_383_383_da8b6bf6e20b2e56dd862f104fb64ebc.jpg?v=1642513114000)
Quadrat Fläche: a*a
Quadrat Umfang: 4*a
Kreis Fläche: r*r*pi
Kreis Umfang: 2*r*pi
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Daraus wäre das
https://de.wikipedia.org/wiki/Kreis#Isoperimetrisches_Problem
noch nicht zu lösen, da müssen schärfere analytische Mittel her.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/fynnwagner/1642513113435_nmmslarge__16_112_383_383_da8b6bf6e20b2e56dd862f104fb64ebc.jpg?v=1642513114000)
Dadurch lässt sich ausrechnen, welcher Umfang von beiden kleiner ist,
indem man das Gleichungssystem löst:
Bsp. Fläche A=Aq=Ak=1
Quadrat: a=sqrt(1) => Uq = 4*sqrt(1) = 4
Kreis: r = sqrt(1/pi) => Uk = 2*sqrt(1/pi)*pi = 3.545
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Das sind Beispiele. Du mußt eine allgemeine Lösung erarbeiten.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/fynnwagner/1642513113435_nmmslarge__16_112_383_383_da8b6bf6e20b2e56dd862f104fb64ebc.jpg?v=1642513114000)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Danke, das hat mir sehr geholfen!!:)