ein Quadrat und ein Kreis haben den gleich großen Flächeninhalt, welche Figur hat dann den größeren Umfang?
4 Antworten
Um dein Rechenbeispiel einmal zu verallgemeinern, schauen wir uns einmal einen Kreis und ein Quadrat mit gleichen Flächeninhalten an:
Einsetzen der Gleichungen für den Flächeninhalte führt zu
Um die beiden Größen zu vereinheitlichen, müssen wir entweder r in Abhängigkeit von a, oder a in Abhängigkeit von r darstellen. Wir entscheiden uns hier für ersteres.
Wir erhalten:
Vergleichen wir nun die beiden Umfänge des Quadrates und des Kreises: Für ein Quadrat lautet der Umfang U=4a, für einen Kreis U=2*pi*r
Wir erhalten also:
und
Der Ausdruck sodass ein Quadrat bei gleichem Flächeninhalt stets den größeren Umfang hat.
Der Kreis ist die geometrische Figur mit kleinstem Umfang bei gegebenem Flächeninhalt
https://de.wikipedia.org/wiki/Kreis#Isoperimetrisches_Problem
Quadrat
Bei allen geometrischen Formen mit gleichem Flächeninhalt – hat immer der Kreis den geringstmöglichen Umfang.
Quadrat Fläche: a*a
Quadrat Umfang: 4*a
Kreis Fläche: r*r*pi
Kreis Umfang: 2*r*pi
Daraus wäre das
https://de.wikipedia.org/wiki/Kreis#Isoperimetrisches_Problem
noch nicht zu lösen, da müssen schärfere analytische Mittel her.
Dadurch lässt sich ausrechnen, welcher Umfang von beiden kleiner ist,
indem man das Gleichungssystem löst:
Bsp. Fläche A=Aq=Ak=1
Quadrat: a=sqrt(1) => Uq = 4*sqrt(1) = 4
Kreis: r = sqrt(1/pi) => Uk = 2*sqrt(1/pi)*pi = 3.545
Das sind Beispiele. Du mußt eine allgemeine Lösung erarbeiten.
Danke, das hat mir sehr geholfen!!:)