Punktprobe im Würfel?
Hallo:) könnte mir jemand mit der Aufgabe helfen die hier zu sehen ist? Ich weiß nicht im Ansatz wie ich vorgehen muss und allgemein fehlt mir seit dem Homeschooling jegliches Vorwissen um solche Aufgaben zu bearbeiten. Eine ausführliche Rechnung mit Erklärung wäre wirklich toll.
danke im Voraus:)
1 Antwort
Hallo,
der Ansatz bei allen Aufgaben dieser Art ist es eine Gleichung aufzustellen in die du die Punkte nur einsetzen musst. In diesem Fall also eine Gleichung die die Ebene beschreibt.
- Schritt 1: Punkte bennenen
Wie auch in der Zeichnung zu sehen bietet es sich dazu an, sich ein dreidimensionales Koordinatensystem vorzustellen, bei der der Koordinatenursprung einer Ecke des Würfels entspricht. Da sowohl Seitenlänge=8 als auch die Information das die Punkte die Strecke halbieren ergeben sich diese Koordinaten:
- E1 (oben links) : (8;0;8)
- E2 (auf der Z-Achse): (0;0;8)
- E3 (auf der Y-Achse): (0;8;0)
- P1: (8;4;8)
- P4: (8;4;4)
(Die E's sind Eckpunkte der Ebene)
- Schritt 2: Gleichung aufstellen
Die allgemeine Ebenengleichung ist
v(p) ist der Ortsvektor eines Punktes A auf der Ebene, v(u) und v(v) sind die Richtungsvektoren von 2 anderen Punkten der Ebene zu Punkt A. Das kannst du dir so vorstellen das du einen Startpunkt auf der Ebene wählst und von dort aus die Ebene in beide Richtungen ausstrahlen lässt.
Einen Richtungsvektor zwischen zwei Punkten berechnet man indem man den Ortsvektor von Punkt2 von Punkt1 subtrahiert. Ein Ortsvektor ist der Richtungsvektor eines Punktes zum Koordinatenursprung, d.h man "berechnet" ihn indem man von den Koordinaten des Punktes jeweils 0 abzieht. Da wir 4 bekannte Punkte haben, können wir 3 davon auswählen. Für die Punkte E1; E2; E3 ergibt sich:
- Schritt 3 den Punkt in die Gleichung einsetzen
(genau genommen den Ortsvektor des Punktes, aber das ändert ja nichts an den Zahlen)
Die Ebenengleichung kann man in drei Gleichungen aufteilen x1 (X-Achse), x2 (Y-Achse) und x3 (Z-Achse) . Setzt man einen Punkt in diese ein und es ergibt sich kein Widerspruch liegt der Punkt auf der Ebene, ergibt sich einer liegt er nicht darauf.
Bsp der Punkt P1(8;4;8) führt zu
-
-
-
- Da t nicht gleichzeitig 0,5 und 0 sein kann liegt P1 nicht auf der Ebene
zweites Beispiel P4(8;4;4) x1 und x2 sind hier gleich wie bei P1, nur x3 unterscheidet sich
-
Hier ist t sowohl in x2 als auch in x3 = 0,5 und s ist nur in der Gleichung für x1 vorhanden. Es existiert somit kein Widerspruch und P4 liegt auf der Ebene.