Punkt A und B liegen symmetrisch zur Ebene-stelle die Ebenengleichung auf?
Hey,
ich habe meine Matheklausur nicht mitschreiben können und lerne daher jetzt dafür. Die anderen hatten die oben stehende Aufgabe. Also man hat eine unbestimmte Ebene und zwei Punkte, die symmetrsch zur Ebene liegen. Die Punkte weiß ich nicht aber es geht ums Prinzip...wie würde ich sowas lösen? Der Abstand von Punkt A zu B kann ich mit dem Betrag errechnen aber wie krieg ich eine Ebene hin?
Bitte helft mir
Danke im vorraus
4 Antworten
Normalengleichung der Ebene
E: (x-a)*n=0
a(ax/ay/az) ist der Stützpunkt (Stützvektor) der Ebene
x1=A(Ax/Ay/Az)
x2=B(bx/By/Bz)
n(nx/ny/nz) ist der Normalenvektor der Ebene.Dieser steht senkrecht auf der Ebene
A und B liegen "rechts" und "links" neben der Ebene
a(ax/ay/az) liegt auf der Ebene und zwar in der Mitte A-B
1) (x1-a)*n=0
2) (x2-a)*(-1)*n=0
-1 bewirkt,daß sich die Richtung des Normalenvektors ändert (entgegengesetzt)
1) Ax*nx+Ay*ny+Az*nz-(ax*nx+ay*ny+az*nz)=0
2) Bx*(-nx)+By*(-ny)+Bz*(-nz) -(ax*(-nx)+ay*(-ny)+aaz*(-nz))=0
Dieses Gleichungssystem muß nun lösbar sein
1) und 2) nach -(ax....) umstellen und gleichsetzen
ergibt 3 Unbekannte,nx,ny und nz mit 2 Gleichungen,wenn A und Bgegeben sind.
Hier kann dann 1 Unbekannte z.Bsp. nz=1 gesetzt werden und daraus die beiden anderen Unbekannten nx un ny berechnet werden.
Tipp: mach eine Proberechnung mit frei gewählten Werten
E: (x-(1/2/3)*-1/3/5)=0
Abstand A=Wurzel(nx^2+ny^2+nz^2)=... E: (A-a)*n=0 ergibt A(Ax/Ay/Az)
Abstant B=Wurzel(nx^2+ny^2+nz^2)=... E: (B-a)*(-1)*n=0 ergibt B(Bx/By/Bz)
also du weißt,
- dass die Gerade g durch A und B senkrecht auf der gesuchten Ebene E steht...
- dass es einen Schnittpunkt S von g mit E gibt... und
- dass der Abstand |AS| gleich dem Abstand |BS| ist...
oda?
aus A zu B den Vektor bestimmen der wiederum der Orthogonale Vektor der Ebene ist. jetzt noch nen punkt der Ebene in Koordinatenform einsetzen (mitte A>B z.B) und TADA
Hallo,
B-A ist ein Normalenvektor der Ebene.
Außerdem muß der Mittelpunkt von AB Bestandteil der Ebene sein.
Damit solltest Du es hinbekommen (Normalenform).
Herzliche Grüße,
Willy