Produktform von einer normalen Gleichung schreiben?
Wie komme ich auf die Produktform einer normalen Gleichung z.B ax^2+bx+c? Danke im Voraus
2 Antworten
(Zunächst: a x^2 + b x + c ist keine Gleichung (es steht ja kein Gleichheitszeichen drin). Es ist ein Term, genauer: ein Polynom.)
Die Produktform hat die Form
a (x - x1) (x - x2)
Da ein Produkt genau dann 0 ist, wenn mindestens ein Faktor 0 ist, sind x1 und x2 die beiden Nullstellen des Polynoms.
x1 und x2 sind also die Lösungen von
a x^2 + b x + c = 0
(Diese Lösungen werden wie üblich berechnet)
Und wie würde die Produktform der Gleichung f(x) = x^2 - 4x + 4 ?
Zuerst denke man mal an die Binomischen Formeln, erstere lautet (a+b)² = a² + 2ab + b². Das wendet man nun auf die Normalform an, die im Falle meines Beispiels x² + 4x -6 lautet.
Da es sich um x² handelt ist das a in dem Binom auf jeden Fall schonmal x. Das b kriegt man nun durch die "2ab" raus. 2*x*was ist 4x? Natürlich ist die Antwort 2. Haben wir also schonmal das Binom (x + 2)².
Rechnet man das nun aber aus, wird man feststellen, dass das Absolutglied (die -6) nicht passt, denn man erhält dort 4. Deshalb muss man noch 10 abziehen, um auf die -6 zu kommen.
Somit ist das Ergebnis dieser sogenannten Binomialen Ergänzung (x + 2)² - 10
Und was ist x^1 und x^2?